2藤田医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

問題2

$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{180}$ とし，$C_n=\cos(n\theta)$ とおく。加法定理から $$C_{n+1}=2\cos\theta\,C_n-C_{n-1}=2xC_n-C_{n-1} \quad(n\ge1),\qquad C_0=1,\quad C_1=x.$$

・ 漸化式を用いて $$\displaystyle \cos\frac{\pi}{60}=C_3=2xC_2-C_1 =2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x.$$

・ $C_0=1,\ C_1=x$ はそれぞれ $x$ の定数多項式および1次多項式である。漸化式より帰納的に各 $C_n$ は整数係数多項式である。さらに $n\ge1$ について，$C_n$ の次数が $n$，最高次係数が $2^{n-1}$ であることを示す。$n=1$ では $C_1=x=2^0x$ より成り立ち，$n=2$ では $C_2=2x^2-1$ である。$n\ge2$ で $C_n$ と $C_{n-1}$ が次数 $n,n-1$，最高次係数 $2^{n-1},2^{n-2}$ をもつとすると， $$C_{n+1}=2xC_n-C_{n-1}$$ の第1項は次数 $n+1$，最高次係数 $2^n$ であり，第2項の次数は $n-1$ なので最高次項を打ち消さない。よって $C_{n+1}$ は次数 $n+1$ の多項式である。帰納法により任意の正整数 $n$ について $\displaystyle \cos\frac{n\pi}{180}=C_n$ は $x$ の $n$ 次式で表される。

・ もし $x$ が有理数なら，整数係数多項式 $C_{30}(x)$ も有理数である。しかし $$\displaystyle C_{30}(x)=\cos\frac{30\pi}{180}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$$ は，素数 $3$ の平方根が無理数であることから無理数である。矛盾する。したがって $x$ は無理数である。

$$\displaystyle \boxed{(1)\ 4x^3-3x,\qquad (2)\ \cos\frac{n\pi}{180}\text{ は }x\text{ の次数 }n\text{ の多項式},\qquad (3)\ x\text{ は無理数}}$$