1昭和大学 2010年 数学 第1問解答・解説

agraph{問題1（独立解答）} 解答欄に記す結果と、その導出を各小問について示す。

agraph{(1-1)} $\displaystyle b_n=a_n+\frac12$ であるから $\displaystyle a_n=b_n-\frac12$ である。 したがって、与えられた漸化式は $$\displaystyle a_{n+1}=2\left(b_n-\frac12\right) \left(b_n+\frac12\right) =2b_n^2-\frac12$$ となる。両辺に $\displaystyle \frac12$ を加えて $$\boxed{b_{n+1}=2b_n^2}\qquad(n\geq1).$$

agraph{(1-2)} $\displaystyle b_1=a_1+\frac12=2$ である。$c_n=2b_n$ と置くと $$c_1=4,\qquad c_{n+1}=2b_{n+1}=4b_n^2=c_n^2.$$ よって帰納的に $$c_n=4^{2^{n-1}}=2^{2^n},\qquad b_n=2^{2^n-1}.$$ $\displaystyle a_n=b_n-\frac12$ より $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac{2^{2^n}-1}{2}}\qquad(n\geq1).$$

agraph{(2-1)} $C$ を始点とする位置ベクトルで考えると、$A=\vec a$、$B=\vec b$、 $M=(\vec a+\vec b)/2$、$E=\vec a/3$、$F=\vec b/4$ である。 従って $$\displaystyle \overrightarrow{ME}=\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CM} =\frac13\vec a-\frac12(\vec a+\vec b) =\boxed{-\frac16\vec a-\frac12\vec b}.$$

agraph{(2-2)} $ME\perp CA$、$MF\perp CB$ より、内積を取れば $$\displaystyle 0=\overrightarrow{ME}\cdot\vec a =-\frac16|\vec a|^2-\frac12\vec a\cdot\vec b, \qquad 0=\overrightarrow{MF}\cdot\vec b =-\frac12\vec a\cdot\vec b-\frac14|\vec b|^2,$$ ただし $\displaystyle \overrightarrow{MF}=-\frac12\vec a-\frac14\vec b$ である。 従って $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=-\frac13|\vec a|^2 =-\frac12|\vec b|^2.$$ $k=|\vec a|^2/3=|\vec b|^2/2>0$ と置けば $$CA^2=3k,\qquad BC^2=2k,\qquad AB^2=|\vec a-\vec b|^2=3k+2k-2(-k)=7k.$$ よって $$\boxed{BC:CA:AB=\sqrt2:\sqrt3:\sqrt7}.$$

agraph{(3)} 和積公式によって $$\displaystyle \cos\left(x+\frac{5\pi}{12}\right) +\cos\left(x+\frac{\pi}{12}\right) =2\cos\left(x+\frac\pi4\right)\cos\frac\pi6 =\sqrt3\cos\left(x+\frac\pi4\right).$$ さらに加法定理から $$\displaystyle \sqrt3\cos\left(x+\frac\pi4\right) +\sin\left(x+\frac\pi4\right) =2\cos\left(x+\frac\pi{12}\right).$$ 従って、求める不等式は $$\displaystyle \cos\left(x+\frac\pi{12}\right)\geq\frac12.$$ $0\leq x<2\pi$ では $\pi/12\leq x+\pi/12<25\pi/12$ である。 この区間における余弦の解を移し戻すと $$\displaystyle \boxed{0\leq x\leq\frac\pi4\quad\text{または}\quad \frac{19\pi}{12}\leq x<2\pi}.$$

agraph{(4-1)} 分母 $x^2+x-6$ は $x\to\infty$ で $x^2$ と同程度であり、 $c+d\sin(x^2-4)$ は有界である。$f(x)$ が有限な極限 $5$ を持つには $ax^4$ の項がなく、すなわち $a=0$ が必要である。このとき $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x) =\lim\limits _{x\to\infty} \frac{bx^2+c+d\sin(x^2-4)}{x^2+x-6}=b.$$ よって $$\boxed{a=0,\qquad b=5}.$$

agraph{(4-2)} 前問の値を代入した分子は $N(x)=5x^2+c+d\sin(x^2-4)$ である。分母は $x=2$ で $0$ に 近づくので、$f(x)$ の有限な極限が存在するには $N(2)=20+c=0$、すなわち $c=-20$ が必要である。 すると $x\ne2,-3$ では $$\displaystyle f(x)=\frac{5(x^2-4)+d\sin(x^2-4)}{(x-2)(x+3)} =\frac{x+2}{x+3} \left(5+d\frac{\sin(x^2-4)}{x^2-4}\right).$$ $\displaystyle \lim\limits _{z\to0}\sin z/z=1$ を使えば $$\displaystyle 24=\lim\limits _{x\to2}f(x)=\frac45(5+d),$$ 従って $d=25$。答えは $$\boxed{c=-20,\qquad d=25}.$$