3昭和大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1-1) 原文には $f$ の連続性が明記されていないため、以下は $f$ が連続である場合の結論である。微積分の基本定理より $$\displaystyle g'(y)=\frac{d}{dy}\int_y^\beta f(x)\,dx=-f(y).$$ 連続性がない場合も、$y$ が $f$ の連続点ならこの微分公式が成り立つ。 (1-2) (1-1) と同じく $f$ が $\alpha\le x\le\beta$ の範囲で連続と仮定する。このとき $g'(y)=-f(y)$、また定義と $\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)\,dx=1$ から $g(\beta)=0,\ g(\alpha)=1$ である。部分積分を一変数で行うと $$\displaystyle \begin{aligned} \int_\alpha^\beta g(y)\,dy &=[yg(y)]_\alpha^\beta-\int_\alpha^\beta y g'(y)\,dy\\ &=-\alpha+\int_\alpha^\beta y f(y)\,dy =A-\alpha. \end{aligned}$$ ここで最後に $\displaystyle A=\int_\alpha^\beta x f(x)\,dx$ を用いた。連続性が原文で仮定されていないため、(1-2)の結論もこの連続性を仮定した条件付きである。 (2) $t=x^2\ge0$ とおくと交点条件は $$t^2+(2a+1)t+a^2-1=0.$$ 4つの異なる共有点をもつには、この式が異なる2つの正の解をもてばよい。根の和・積・判別式の条件はそれぞれ $\displaystyle a<-\frac12$、$a^2-1>0$、$4a+5>0$ であり、共通範囲は $$\displaystyle -\frac54<a<-1.$$ (3) 正24角形を中心から24個の三角形に分けると、各中心角は $15^\circ$。面積は $$\displaystyle 24\cdot\frac12r^2\sin15^\circ=3(\sqrt6-\sqrt2)r^2.$$

(1-1) 原文にfの連続性は明記されていない。fが連続なら微積分の基本定理からg′(y)=−f(y)となり、連続性がない場合もfの連続点では同じ公式が成立する。(1-2) fの連続性を仮定し、(1-1)のg′=−fと端点値g(α)=1,g(β)=0を用いて一変数の部分積分を行うとA−αとなる。したがって(1)はfの連続性を仮定した条件付き。(2) t=x²と置き、二次方程式が異なる正の2解を持つ条件を根の和・積・判別式で調べる。端点では重解またはt=0を含むため除く。(3) 正24角形を中心から24個の二等辺三角形に分け、それらの面積を足す。