2昭和大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) $x=m+\alpha$、$m\text{ は整数}$、$0\le\alpha<1$ とする。$\lfloor x\rfloor$ は問題の $[x]$ を表す。

(1-1) $0\le\alpha<1/2$ のとき $$\displaystyle \left\lfloor x+\frac12\right\rfloor=m,\qquad \lfloor2x\rfloor=\lfloor2m+2\alpha\rfloor=2m.$$ したがって左辺は $m+m=2m$ であり、等式が成り立つ。

(1-2) $1/2\le\alpha<1$ のとき $$\displaystyle \left\lfloor x+\frac12\right\rfloor=m+1,\qquad \lfloor2x\rfloor=\lfloor2m+2\alpha\rfloor=2m+1.$$ したがって左辺は $m+(m+1)=2m+1$ であり、等式が成り立つ。

(2) 同様に $x=m+\alpha$、$m\text{ は整数}$、$0\le\alpha<1$ とし、 $$n\alpha=q+\gamma,\qquad q=\lfloor n\alpha\rfloor,\qquad 0\le\gamma<1$$ とおく。このとき $q$ は $0,1,\ldots,n-1$ のいずれかである。 各 $k=0,1,\ldots,n-1$ について $$\displaystyle x+\frac{k}{n}=m+\frac{q+\gamma+k}{n}.$$ 右辺で整数 $m$ に加える部分 $(q+\gamma+k)/n$ が $1$ 以上になるのは、$k\ge n-q$ のときである。 実際、$k\ge n-q$ なら $q+\gamma+k\ge n$ であり、$k<n-q$ なら $$q+\gamma+k\le n-1+\gamma<n$$ となる。また $0\le\alpha+k/n<2$ だから $$\displaystyle \left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor =m+\begin{cases}0&(k<n-q),\\1&(k\ge n-q).\end{cases}$$ 後者に当たる $k$ は $q$ 個である（$q=0$ のときは $0$ 個）。よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor =nm+q=nm+\lfloor n\alpha\rfloor=\lfloor nx\rfloor.$$ 求める等式が示された。