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自治医科大学／2020年度／前期

自治医科大学 2020年 数学 第22~25問解答・解説

数と式数列

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1問題

自治医科大学2020年度第22~25問

次の文章を読み，以下の問い（問題22～25）に対する選択肢から最も適当なものを一つ選べ。

kk を0以上の整数とする。3つの不等式 y≦−x2+k,x≧0,y≧0\displaystyle y\leq-\frac{x}{2}+k,\quad x\geq 0,\quad y\geq 0 を満たす整数 x,yx,y の組 (x,y)(x,y) の個数を f(k)f(k) と表記する。

I. f(0)=22f(0)=\boxed{22} となる。

問題22の選択肢： ア0カ1サ2タ3ナ4ハ5マ6ヤ7ラ8ワ9\begin{array}{lllll} ア 0 & カ 1 & サ 2 & タ 3 & ナ 4 \\ ハ 5 & マ 6 & ヤ 7 & ラ 8 & ワ 9 \end{array}

II. f(3)=f(2)+Rf(3)=f(2)+R であるとき，RR は 23\boxed{23} となる。

問題23の選択肢： ア0カ1サ2タ3ナ4ハ5マ6ヤ7ラ8ワ9\begin{array}{lllll} ア 0 & カ 1 & サ 2 & タ 3 & ナ 4 \\ ハ 5 & マ 6 & ヤ 7 & ラ 8 & ワ 9 \end{array}

III. f(k)=f(k−1)+Sf(k)=f(k-1)+S であるとき，SS は 24\boxed{24} となる（kk は1以上の整数とする）。

問題24の選択肢： アkカ2kサ3kタk+1ナk+2ハ2k+1マ2k+2ヤ2k+3ラ3k+2ワ4k+3\begin{array}{lllll} ア k & カ 2k & サ 3k & タ k+1 & ナ k+2 \\ ハ 2k+1 & マ 2k+2 & ヤ 2k+3 & ラ 3k+2 & ワ 4k+3 \end{array}

IV. f(k)=25f(k)=\boxed{25} と表すことができる。

問題25の選択肢： アk2カ2k2サ3k2タ(k+1)2ナ2(k+1)2ハ3(k+1)2マ(k+2)2ヤ2(k+2)2ラ3(k+2)2ワ(k+3)2\begin{array}{lllll} ア k^{2} & カ 2k^{2} & サ 3k^{2} & タ (k+1)^{2} & ナ 2(k+1)^{2} \\ ハ 3(k+1)^{2} & マ (k+2)^{2} & ヤ 2(k+2)^{2} & ラ 3(k+2)^{2} & ワ (k+3)^{2} \end{array}

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

各 xx に対する yy の個数を数え、xx の偶奇別に等差数列の和を求めて f(k)f(k) を導く。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 問題22：1\quad 1\quad （カ） / 問題23：7\quad 7\quad （ヤ） / 問題24：2k+1\quad 2k+1\quad （ハ） / 問題25：(k+1)2\quad (k+1)^2\quad （タ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

kk は0以上の整数である。条件 y≦k−x/2y\le k-x/2、x,y≧0x,y\ge0 を満たすには 0≦x≦2k0\le x\le2k であり、各整数 xx に対する yy の個数は ⌊k−x2⌋+1\displaystyle \left\lfloor k-\frac{x}{2}\right\rfloor+1 である。まず x=2jx=2j（0≦j≦k0\le j\le k）のとき、この個数は k−j+1k-j+1 なので合計は (k+1)(k+2)/2(k+1)(k+2)/2 となる。次に x=2j+1x=2j+1（0≦j≦k−10\le j\le k-1）のとき個数は k−jk-j なので合計は k(k+1)/2k(k+1)/2 となる。従って f(k)=(k+1)(k+2)2+k(k+1)2=(k+1)2.\displaystyle f(k)=\frac{(k+1)(k+2)}2+\frac{k(k+1)}2=(k+1)^2. この式から f(0)=1,f(3)−f(2)=16−9=7,f(0)=1,\qquad f(3)-f(2)=16-9=7, また k≧1k\ge1 では f(k)−f(k−1)=(k+1)2−k2=2k+1.f(k)-f(k-1)=(k+1)^2-k^2=2k+1. よって順に 1,7,2k+1,(k+1)21,7,2k+1,(k+1)^2 が求める値である。

この問題で使う考え方

  • 一次不等式
  • 等差数列の一般項と和
  • 総和記号と数列の和

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