3近畿大学 2019年 数学 第3問解答・解説

第3問

$a_4=a+3d=15$ より $a=15-3d$ である。等差数列の和は $$\displaystyle S_n=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\} =\frac{n}{2}\{30+(n-7)d\}.$$

(1) 条件をそれぞれ代入すると $$S_{10}=5(30+3d)=150+15d>0\quad\text{の必要十分条件は}\quad d>-10,$$ $$\displaystyle S_{11}=\frac{11}{2}(30+4d)=165+22d\le0\quad\text{の必要十分条件は}\quad d\le-\frac{15}{2}.$$ 従って $$\displaystyle -10<d\le-\frac{15}{2}.$$

(2) $n>4$ では $$a_n=a+(n-1)d=15+(n-4)d.$$ ここで $n-4>0$ なので、(1)の範囲を代入して $$\displaystyle 15-10(n-4)<a_n\le15-\frac{15}{2}(n-4),$$ すなわち $$\displaystyle 55-10n<a_n\le45-\frac{15}{2}n\qquad(n\text{ は }4\text{ より大きい整数}).$$

(3) 隣り合う部分和の差は $$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}=15+(n-3)d.$$ $d<0$ だから、この差は $n$ が増えると小さくなる。$n\le4$ なら $$S_{n+1}-S_n\ge15+d>5>0,$$ 一方 $n\ge6$ なら $$\displaystyle S_{n+1}-S_n\le15+3d\le15-\frac{45}{2}<0.$$ $n=5$ では $$S_6-S_5=15+2d\le0,$$ 等号は $d=-15/2$ のときに限る。したがって、$-10<d<-15/2$ では最大となるのは $n=5$ のみであり、$d=-15/2$ では $n=5,6$ の両方で最大となる。その最大値は $$\displaystyle S_5=\frac52\{30-2d\}=75-5d.$$ $d=-15/2$ のときも $S_6=90-3d=75-5d$ となるので、いずれの場合も最大値は $75-5d$ である。

agraph{検算} $d=-10$ は $S_{10}=0$ となるため除外され、$d=-15/2$ は $S_{11}=0$ となるため含まれる。$n=5$ の項は $a_5=15+d>0$、$n=6$ の項は $a_6=15+2d\le0$ で、部分和は確かに5項目で最大となり、端点では6項目も同じ値となる。