2近畿大学 2019年 数学 第2問解答・解説

第2問 $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$ だから $x=\sin\theta$ は $-1\le x\le1$ を動く。また $$\sin3\theta=3x-4x^3,\qquad \cos2\theta=1-2x^2.$$ よって $$f(\theta)=-2(3x-4x^3)+9(1-2x^2)-18x-9 =8x^3-18x^2-24x.$$ 従って $$g(x)=8x^3-18x^2-24x\qquad(-1\le x\le1).$$ これが(1)の答えである。

(2) $$g'(x)=24x^2-36x-24=12(2x+1)(x-2).$$ $-1\le x\le1$ では $x-2<0$ であり、$2x+1$ は $x=-1/2$ で符号が変わる。従って $g$ は $-1\le x\le-1/2$ で増加し、$-1/2\le x\le1$ で減少する。端点と極値点での値は $$\displaystyle g(-1)=-2,\qquad g\left(-\frac12\right)=\frac{13}{2},\qquad g(1)=-34.$$ 従って最大値は $13/2$、最小値は $-34$ である。正弦は指定区間で単調増加なので、対応する角はそれぞれ $$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{6},\qquad \theta=\frac{\pi}{2}.$$

(3) 最大点と最小点は $$\displaystyle A\left(-\frac12,\frac{13}{2}\right),\qquad B(1,-34)$$ である。直線$AB$の傾きは $-27$ なので、その方程式を $L(x)$ とすると $$L(x)=-27x-7.$$ 曲線との交点を調べると $$g(x)-L(x)=8x^3-18x^2+3x+7=(2x+1)(x-1)(4x-7).$$ グラフの定義域 $-1\le x\le1$ では交点は $x=-1/2,1$ のみであり、その間では右辺は非負である。従って囲まれた面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1/2}^{1}\{g(x)-L(x)\}\,dx &=\left[2x^4-6x^3+\frac32x^2+7x\right]_{-1/2}^{1}\\ &=\frac92-\left(-\frac94\right)=\frac{27}{4}. \end{aligned}$$

検算 $x=-1/2$ では $g=13/2$、$x=1$ では $g=-34$ となり、いずれも直線$L$上にある。差の因数分解の第3根は $7/4>1$ なので定義域内に余分な交点はない。また積分区間内で $g-L\ge0$ であり、面積の符号も整合する。