III東北医科薬科大学 2021年 数学 第III問解答・解説

(1) $t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt3/2$ とおくと $$t^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta =1+2\sin\theta\cos\theta.$$ したがって $$\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2} =\frac{3/4-1}{2}=-\frac18.$$ (2) $s=\sin\theta,\ c=\cos\theta,\ p=sc$ とおく。$t=s+c$ かつ $p=(t^2-1)/2$ である。また、三倍角の公式と $s^3+c^3=(s+c)^3-3sc(s+c)$ より $$\sin3\theta-\cos3\theta =3t-4(s^3+c^3)=3t-4t^3+12pt.$$ よって $$\begin{aligned} f(\theta) &=3t-4t^3+12pt-8p+2t-2\\ &=-4t^3+5t+6t(t^2-1)-4(t^2-1)-2\\ &=2t^3-4t^2-t+2. \end{aligned}$$ (3) $0\le\theta\le\pi$ では $$\displaystyle t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right), \qquad -1\le t\le\sqrt2.$$ したがって $t=2$ は範囲外であり、 $$\displaystyle f(\theta)=0 \text{であるための必要十分条件は} (t-2)(2t^2-1)=0 \text{、すなわち} t=\frac{\sqrt2}{2}\ \text{または}\ t=-\frac{\sqrt2}{2}.$$ $t=\sqrt2/2$ のとき $\sin(\theta+\pi/4)=1/2$。範囲 $\pi/4\le\theta+\pi/4\le5\pi/4$ にある解は $5\pi/6$ だけなので $\theta=7\pi/12$。同様に $t=-\sqrt2/2$ のとき $\sin(\theta+\pi/4)=-1/2$ であり、この区間にある解は $7\pi/6$ だけなので $\theta=11\pi/12$。 (4) $t$ の範囲は $-1\le t\le\sqrt2$ である。$F(t)=2t^3-4t^2-t+2$ とおけば $$\displaystyle F'(t)=6t^2-8t-1=0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad t=\frac{4-\sqrt{22}}6\ \text{または}\ \frac{4+\sqrt{22}}6.$$ 前者を $r=(4-\sqrt{22})/6$ とする。$4<\sqrt{22}<5$ より $-1<r<0$ である。後者は $\sqrt2$ より大きい（$\sqrt{22}>9/2$ かつ $6\sqrt2-4<9/2$）ので定義域にない。したがって $F$ は $-1\le t\le r$ で増加し、$r\le t\le\sqrt2$ で減少し、最大値候補は $F(-1),F(r)$ である。導関数の条件 $6r^2-8r-1=0$ を用いて整理すると $$\displaystyle F(r)=\frac{16-22r}{9}=\frac{4+11\sqrt{22}}{27}.$$ 一方 $F(-1)=-3$ であり、$F(r)>0$ だから、最大値は $(4+11\sqrt{22})/27$ である。