I東北医科薬科大学 2021年 数学 第I問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad f_2(x)&=\sin x+2\sin 2x,\\ S_2&=\int_0^\pi(\sin x+2\sin2x)\,dx =\bigl[-\cos x-\cos2x\bigr]_0^\pi=2.\\ T_2&=\int_0^\pi\left(\sin^2x+4\sin x\sin2x+4\sin^22x\right)\,dx. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \sin x\sin2x=\frac12(\cos x-\cos3x)$ なので交差項の積分は $0$ であり、また $\displaystyle \int_0^\pi\sin^2(kx)\,dx=\frac{\pi}{2}$ である。よって $$\displaystyle T_2=\frac{\pi}{2}+4\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{2}.$$ (2) 各 $k$ について $$\displaystyle \int_0^\pi k\sin kx\,dx=1-(-1)^k =\begin{cases}0&(k\text{ 偶数})\\2&(k\text{ 奇数})\end{cases}.$$ したがって $S_n$ は $1,\ldots,n$ に含まれる奇数の個数の2倍である。$n$ が偶数なら奇数は $n/2$ 個、$n$ が奇数なら $(n+1)/2$ 個だから、 $$S_n=\begin{cases}n&(n\text{ 偶数})\\n+1&(n\text{ 奇数})\end{cases}.$$ (3) 三角関数の積和公式から、$k\ne l$ なら $$\displaystyle \int_0^\pi\sin kx\sin lx\,dx =\frac12\int_0^\pi\{\cos((k-l)x)-\cos((k+l)x)\}\,dx=0,$$ また $\displaystyle \int_0^\pi\sin^2(kx)\,dx=\pi/2$ である。よって交差項はすべて消え、 $$\displaystyle T_n=\frac{\pi}{2}\sum\limits _{k=1}^n k^2 =\frac{\pi}{2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}6 =\frac{\pi}{12}n(n+1)(2n+1).$$ (4) 偶数列では $S_n=n$、奇数列では $S_n=n+1$ なので、いずれの場合も $S_n/n\to1$。また $T_n/n^3\to\pi/6$。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n^3}{T_n} =\frac{1}{\pi/6}=\frac6\pi.$$ (1) の $S_2=2,\ T_2=5\pi/2$ は一般式 $S_n,T_n$ に $n=2$ を代入した値とも一致する。