II東北医科薬科大学 2021年 数学 第II問解答・解説

(1) $a_1,\ldots,a_{30}$ は $1,\ldots,30$ を一度ずつ並べたものだから、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{30}a_k=1+2+\cdots+30=\frac{30\cdot31}{2}=465.$$ (2) 左辺を右辺から引くと $$(lp_{\text{オ}}+mp_{\text{エ}})-(lp_{\text{エ}}+mp_{\text{オ}}) =(m-l)(p_{\text{エ}}-p_{\text{オ}}).$$ $m-l>0$ なので、指定された不等式が成り立つには $p_{\text{エ}}>p_{\text{オ}}$ が必要十分である。$p_1<p_2$ より $\text{エ}=2,\ \text{オ}=1$ となる。 (3) 係数の順序を入れ替えるとき、$i<j$ に対し $$\{iu+jv\}-\{iv+ju\}=(j-i)(v-u).$$ したがって $u<v$ なら、小さい値 $u$ を後ろに、大きい値 $v$ を前に置くと和が小さくなる。よって最小は $b_k=61-k$、最大は $b_k=30+k$ のときに得られる。平方和の公式を用いると $$\displaystyle \min\sum\limits _{k=1}^{30}kb_k=\sum\limits _{k=1}^{30}k(61-k) =61\cdot465-9455=18910,$$ $$\displaystyle \max\sum\limits _{k=1}^{30}kb_k=\sum\limits _{k=1}^{30}k(30+k) =30\cdot465+9455=23405,$$ ここで $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{30}k^2=30\cdot31\cdot61/6=9455$ である。 (4) 同じ入れ替えの議論から、$\displaystyle \sum k a_k$ は $a_k=31-k$ のとき最小となる。これを固定すると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{30}ka_kc_k=\sum\limits _{k=1}^{30}w_kc_k,\qquad w_k=k(31-k).$$ $w_j=w_{31-j}=j(31-j)$ であり、$j=1,\ldots,15$ について $u_j=j(31-j)$ は小さい順に並ぶ。実際、$u_{j+1}-u_j=30-2j>0$ ($1\le j\le14$) であるから、重みを小さい順に並べると $u_1,u_1,u_2,u_2,\ldots,u_{15},u_{15}$ となる。前問と同じ交換の議論により、最小では大きい $c_k$ を小さい重みに対応させ、最大では大きい $c_k$ を大きい重みに対応させる。よって $$\displaystyle \min=\sum\limits _{j=1}^{15}j(31-j)(30+29-4(j-1)) =\sum\limits _{j=1}^{15}j(31-j)(63-4j),$$ $$\displaystyle \max=\sum\limits _{j=1}^{15}j(31-j)((2j-1)+2j) =\sum\limits _{j=1}^{15}j(31-j)(4j-1).$$ $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{15}j=120,\ \sum j^2=1240,\ \sum j^3=120^2=14400$ より $$\displaystyle \min=1953(120)-187(1240)+4(14400)=60080,$$ $$\displaystyle \max=125(1240)-31(120)-4(14400)=93680.$$ 交換後も $c_1,\ldots,c_{30}$ は $1,\ldots,30$ の並べ替えのままなので、いずれの極値も実現する。