2兵庫医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 左辺と右辺はいずれも0以上である。両辺の平方の差を計算すると $$(|a|+|b|)^2-|a-b|^2=2(|a||b|+ab)=2(|ab|+ab)\ge0$$ となる。したがって $|a|+|b|\ge|a-b|$。等号は $|ab|+ab=0$，すなわち $ab\le0$ のとき，そのときに限り成り立つ。

(2) $f_3(x)$ のグラフは次の折れ線である。 $$g(x)=f_3(x)=\begin{cases} 1-8x & (x\le1/8) \\ 8x-1 & (1/8\le x\le1/4) \\ 3-8x & (1/4\le x\le3/8) \\ 8x-3 & (3/8\le x\le1/2) \\ 5-8x & (1/2\le x\le5/8) \\ 8x-5 & (5/8\le x\le3/4) \\ 7-8x & (3/4\le x\le7/8) \\ 8x-7 & (x\ge7/8) \end{cases}$$ 従って頂点は順に $\left(1/8,0\right),\left(1/4,1\right),\left(3/8,0\right),\left(1/2,1\right),\left(5/8,0\right),\left(3/4,1\right),\left(7/8,0\right)$ で，両端は記した直線に沿って延びる。

(3) (1)を $a=x-1,b=x-2$ に適用すると $$|x-1|+|x-2|\ge|(x-1)-(x-2)|=1.$$ さらに $|x-t|\ge0$ だから，任意の実数 $t,x$ について $$|x-1|+|x-2|+|x-t|\ge1$$ である。等号は $x=t$ かつ $1\le x\le2$ のときに限る。

(4) $N$ の偶奇に分ける。

$N=2m$ のとき，$j$ と $2m+1-j$ を組にして $j=1,2,\ldots,m$ と動かすと $$|x-j|+|x-(2m+1-j)|\ge 2m+1-2j.$$ これらを加えれば $$\displaystyle f(x)\ge\sum\limits _{j=1}^{m}(2m+1-2j)=m^2.$$ 各組で等号となるのは $j\le x\le2m+1-j$ のときであり，すべての組で等号となる範囲は共通部分 $m\le x\le m+1$ である。よって最小値は $m^2$ で，$m\le x\le m+1$ のときに限り達する。

$N=2m+1$ のときは中央の項を分け，$j$ と $2m+2-j$ を組にして $j=1,2,\ldots,m$ とすると $$\displaystyle f(x)=|x-(m+1)|+\sum\limits _{j=1}^{m}\bigl(|x-j|+|x-(2m+2-j)|\bigr) \ge |x-(m+1)|+2\sum\limits _{r=1}^{m}r \ge m(m+1).$$ この下限は $x=m+1$ で達する。等号には中央の項が0であることが必要なので，このときに限る。以上より最小値は $\lfloor N^2/4\rfloor$。偶数 $N=2m$ では $m\le x\le m+1$，奇数 $N=2m+1$ では $x=m+1$ のときに達する。