1兵庫医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) $a=\log_2 10$ とおく。対数の性質から $\log_2 40=a+2$，$\log_2 160=a+4$ である。また底の変換より $1/\log_{160}2=\log_2 160$ だから，与式は $$(a+2)^2-a(a+4)=4$$ となる。

(2) 赤球を引く事象を $R$ とする。袋を選ぶ確率はそれぞれ $1/2$ で，$P(R\mid A)=2/4=1/2$，$P(R\mid B)=1/4$ である。したがって $$\displaystyle P(R)=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac14=\frac38.$$ よって条件付き確率は $$\displaystyle P(A\mid R)=\frac{(1/2)(1/2)}{3/8}=\frac23,\qquad P(B\mid R)=\frac{(1/2)(1/4)}{3/8}=\frac13.$$

(3) 比だけを扱うので，$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$ とする。辺の比から $$P=(1/4,3/4),\qquad Q=(0,1/4),\qquad R=(3/4,0).$$ したがって直線 $AP,BQ,CR$ の方程式はそれぞれ $y=3x$，$x+4y=1$，$4x+3y=3$ である。直線 $AP$ と直線 $BQ$ の交点を $D$ とすると，$y=3x$ を $x+4y=1$ に代入して $D=(1/13,3/13)=(4/13)P$ である。従って $AD=(4/13)AP$，$PD=(9/13)AP$ だから $$\displaystyle \frac{PD}{DA}=\frac94.$$ また 直線 $AP$ と直線 $CR$ の交点を $F$ とすると，$y=3x$，$4x+3y=3$ から $F=(3/13,9/13)=(12/13)P$。よって $AF=(12/13)AP$，$PF=(1/13)AP$ であり $$\displaystyle \frac{PF}{FA}=\frac1{12}.$$

(4) 条件を用いて $$13(4x^2+9y^2)-36(x+y)^2=(4x-9y)^2\ge0$$ と計算できる。左辺は $468-36(x+y)^2$ なので $(x+y)^2\le13$，従って $x+y\le\sqrt{13}$。等号には $4x=9y$ が必要である。$x=9t,y=4t$ とおくと条件から $468t^2=36$，すなわち $t=\pm1/\sqrt{13}$。最大値を与えるのは正の方であり，$(x,y)=(9/\sqrt{13},4/\sqrt{13})=(9\sqrt{13}/13,4\sqrt{13}/13)$，最大値は $\sqrt{13}$ である。

(5) 19で割ると2余るので，求める数を $n=19k+2$ とおく。21で割ると5余る条件は $$19k+2\equiv5\pmod{21},\quad 2k\equiv18\pmod{21}$$ である。$2\cdot11=22\equiv1\pmod{21}$ より，$k\equiv18\cdot11\equiv9\pmod{21}$。従って $k=21t+9$，$n=399t+173$。4桁となるには $t\ge3$ で，最小の $t=3$ のとき $n=1370$。実際，$1370=19\cdot72+2=21\cdot65+5$ である。