1近畿大学 2018年 数学 第1問解答・解説

近畿大学 2018 大問1（A）

問題

(1) $$f(x)=27^x-9^x-3^{x+1}+3$$ について、$f(x)=0$ の解と、$g(x)=f(x)+f(-x)$ の最小値およびそのときの $x$ を求める。

(2) 自然数 $m,n$ の最大公約数を $G$、最小公倍数を $L$ とする。$G<m<n<L$ とし、 $$2\log_3L-\log_3G=3+5\log_32,\qquad \log_2L+\log_2G=7+3\log_23$$ を満たすときの $m,n$ を求める。

(3) 直線 $\ell:y=ax+b$ 上の任意の点 $(x,y)$ に対し、点 $(5x+6y,x+4y)$ も $\ell$ 上にあるときの $(a,b)$ を求める。

解答

(1)

$t=3^x$ とおくと $t>0$ であり、 $$\begin{aligned} f(x) &=t^3-t^2-3t+3\\ &=(t-1)(t^2-3). \end{aligned}$$ したがって $f(x)=0$ は $t=1$ または $t^2=3$ と同値である。$t>0$ より $t=1,\sqrt3$ であり、 $$\displaystyle 3^x=1\quad\text{ならば}\quad x=0,\qquad 3^x=\sqrt3=3^{1/2}\quad\text{ならば}\quad x=\frac12.$$ よって解は $\displaystyle \boxed{x=0,\ \frac12}$。

次に $u=t+t^{-1}$ とおく。正の $t$ に対し $$\displaystyle u-2=\frac{(t-1)^2}{t}\ge0$$ なので $u\ge2$ である。また $$t^2+t^{-2}=u^2-2,\qquad t^3+t^{-3}=u^3-3u.$$ これらから $$\begin{aligned} g(x) &=t^3+t^{-3}-(t^2+t^{-2})-3(t+t^{-1})+6\\ &=u^3-u^2-6u+8\\ &=(u-2)(u^2+u-4). \end{aligned}$$ $u\ge2$ のとき $u^2+u-4\ge2>0$ だから、$g(x)\ge0$。等号は $u=2$、すなわち $t=1$ のときに限り、これは $x=0$ と同値である。したがって $$\boxed{\text{イ}=0,\qquad \text{ウ}=0}.$$

(2)

対数の性質を用いて二つの式をまとめると $$\displaystyle \log_3\frac{L^2}{G} =\log_3 27+\log_3 2^5 =\log_3 864, \qquad \log_2(LG) =\log_2 2^7+\log_2 3^3 =\log_2 3456.$$ よって $$\displaystyle \frac{L^2}{G}=864,\qquad LG=3456.$$ 前式を後式で割ると $L/G^2=1/4$、すなわち $L=G^2/4$。これを $LG=3456$ に代入して $$\displaystyle \frac{G^3}{4}=3456,\qquad G^3=13824=24^3.$$ $G$ は正なので $G=24$、さらに $L=144$。

$m=24r,\ n=24s$ とおくと、$\gcd(r,s)=1$ であり $$L=24rs=144$$ だから $rs=6$。また $G<m<n<L$ より $1<r<s<6$ である。積が $6$ となるこの範囲の正整数の組は $(r,s)=(2,3)$ のみ。したがって $$\boxed{m=48,\qquad n=72}.$$

(3)

直線上の点は $y=ax+b$ と表され、任意の実数 $x$ をとる。変換後の座標を $x',y'$ とすると $$x'=(5+6a)x+6b,\qquad y'=(1+4a)x+4b.$$ 変換後も同じ直線上にある条件は、すべての $x$ について $y'=ax'+b$ となることである。係数と定数項を比較して $$1+4a=a(5+6a),\qquad 4b=6ab+b.$$ 前者は $$6a^2+a-1=(3a-1)(2a+1)=0$$ なので $\displaystyle a=\frac13$ または $\displaystyle a=-\frac12$。後者は $3b(1-2a)=0$ である。どちらの $a$ も $1/2$ ではないから $b=0$。指定された順序 $a_{\text{カ}}<a_{\text{ク}}$ に従えば $$\displaystyle \boxed{(\text{カ},\text{キ})=\left(-\frac12,0\right),\qquad (\text{ク},\text{ケ})=\left(\frac13,0\right)}.$$

最終答案

- (1) $\displaystyle \text{ア}: x=0,\frac12;\quad \text{イ}=0;\quad \text{ウ}=0$ - (2) $\text{エ}=48,\quad \text{オ}=72$ - (3) $\displaystyle (\text{カ},\text{キ})=(-\frac12,0),\quad (\text{ク},\text{ケ})=(\frac13,0)$

使用した解法

指数を $t=3^x$ と置換して因数分解し、対称式を $u=t+t^{-1}$ で整理した。対数式は底ごとの対数法則で $G,L$ の連立方程式に直し、最大公約数・最小公倍数を用いて $m,n$ を特定した。直線の条件は変換後の座標を代入して係数比較した。