3近畿大学 2018年 数学 第3問解答・解説

近畿大学 2018 大問3（A）

解答

(1)

$ab=6>0$ より $a,b$ は同符号で、どちらも $0$ ではない。また $$a+b=1+c^2>0.$$ したがって $a,b$ がともに負であることはなく、両方とも正である。

$$\boxed{a>0,\qquad b>0}$$

(2)

③より $c\ne0$。$x=c^2$ とおくと $x>0$、②より $a+b=1+x$、③より $a-b=2/c$ である。恒等式 $$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$ と①を用いると $$\displaystyle (1+x)^2-\frac{4}{c^2}=24.$$ $c^2=x$ を代入して両辺に $x$ を掛けると $$x(1+x)^2-4=24x,$$ したがって $$\boxed{f(x)=x^3+2x^2-23x-4}.$$ このとき $x=c^2$ は $f(x)=0$ を満たす。

(3)

因数分解すると $$f(x)=x^3+2x^2-23x-4 =(x-4)(x^2+6x+1).$$ 二次因子の解は $$x=-3\pm2\sqrt2.$$ $2\sqrt2<3$（両辺正で $8<9$）なので、これらはともに負である。一方、一次因子の解 $x=4$ は正である。よって正の実数解は $$\boxed{1\text{個}}$$ である。

(4)

$x=c^2$ は正の解に限られるため、(3)から $c^2=4$、すなわち $c=2$ または $c=-2$。また $$\displaystyle a+b=1+c^2=5,\qquad a-b=\frac2c.$$ - $c=2$ のとき $a-b=1$ なので $(a,b)=(3,2)$。 - $c=-2$ のとき $a-b=-1$ なので $(a,b)=(2,3)$。

どちらも $ab=6$、$a+b-c^2=1$、$c(a-b)=2$ を満たすため、これらがすべての解である。 $$\boxed{(a,b,c)=(3,2,2),\quad(2,3,-2)}$$

最終答案

- (1) $a,b$ はともに正。 - (2) $f(x)=x^3+2x^2-23x-4$ - (3) 正の実数解は $1$ 個。 - (4) $(a,b,c)=(3,2,2),(2,3,-2)$

使用した解法

符号は積と和から決定した。$a+b$ と $a-b$ を $c^2$ で表し、平方差の恒等式で $a,b$ を消去して三次式を得た。三次式を因数分解して正の解を特定し、$c$ の符号ごとに連立一次方程式を解いた。