4九州大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ を示す。 $$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3=5+2\sqrt{6}$$ である。$\sqrt{2}+\sqrt{3}>0$ であり，また $2\sqrt6=\sqrt{24}<\sqrt{25}=5$ より $5+2\sqrt6>0$ でもあるから，両辺の正の平方根を考えて $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$ が成り立つ。

次に，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを背理法で示す。$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が有理数であると仮定し，これを $r$ とおく。上の計算より $r^2=5+2\sqrt{6}$ であるから $$\displaystyle \sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2}$$ となる。$r$ は有理数であるから右辺 $\displaystyle \dfrac{r^2-5}{2}$ も有理数であり，したがって $\sqrt{6}$ は有理数となる。これは $\sqrt{6}$ が無理数であることに矛盾する。ゆえに，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は無理数である。

(2) $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ とおく。(1)より $x^2=5+2\sqrt{6}$ であるから $$x^2-5=2\sqrt{6}$$ の両辺を平方すると $$(x^2-5)^2=24,\qquad\text{すなわち}\qquad x^4-10x^2+25=24$$ より $$x^4-10x^2+1=0$$ を得る。これは係数がすべて有理数（実際には整数）の4次方程式であり，$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を解にもつ。したがって，求める4次方程式の一つは $$x^4-10x^2+1=0$$ である。

この方程式のすべての解を求める。$y=x^2$ とおくと $$y^2-10y+1=0$$ となり，解の公式より $$\displaystyle y=\frac{10\pm\sqrt{100-4}}{2}=5\pm2\sqrt{6}$$ を得る。$2\sqrt6=\sqrt{24}<5$ であるから $5-2\sqrt6>0$ であり，$5+2\sqrt6>0$ でもあるので，どちらの $y$ の値に対しても $x^2=y$ を満たす実数 $x$ が存在する。ここで $$5+2\sqrt{6}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2,\qquad 5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$ であることに注意する（実際 $(\sqrt3-\sqrt2)^2=3-2\sqrt6+2=5-2\sqrt6$）。よって $$x^2=5+2\sqrt6 \quad\text{すなわち}\quad x=\pm(\sqrt2+\sqrt3),\qquad x^2=5-2\sqrt6 \quad\text{すなわち}\quad x=\pm(\sqrt3-\sqrt2)$$ であるから，4次方程式 $x^4-10x^2+1=0$ のすべての解は $$x=\sqrt2+\sqrt3,\ -\sqrt2-\sqrt3,\ \sqrt3-\sqrt2,\ \sqrt2-\sqrt3$$ の4個（すなわち $x=\pm\sqrt2\pm\sqrt3$，複号任意の4通り）であり，これらはすべて相異なる実数である。

(3) $\sqrt2+\sqrt3$ を解にもち，係数がすべて有理数の2次方程式が存在すると仮定して矛盾を導く。

すなわち，有理数 $a,b,c$（$a\ne0$）が存在して $$a(\sqrt2+\sqrt3)^2+b(\sqrt2+\sqrt3)+c=0$$ が成り立つと仮定する。(1)より $(\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6$ であるから，これを代入して整理すると $$(5a+c)+b\sqrt2+b\sqrt3+2a\sqrt6=0 \qquad\cdots(\ast)$$ を得る。

(i) $b=0$ の場合。$(\ast)$ は $(5a+c)+2a\sqrt6=0$ となる。$a\ne0$ であるから $$\displaystyle \sqrt6=-\frac{5a+c}{2a}$$ となり，右辺は有理数どうしの商だから有理数である。これは $\sqrt6$ が無理数であることに矛盾する。よって $b=0$ はあり得ない。

(ii) $b\ne0$ の場合。$(\ast)$ より $$b(\sqrt2+\sqrt3)=-(5a+c)-2a\sqrt6$$ なので，両辺を $b$ で割って $$\displaystyle \sqrt2+\sqrt3=u+v\sqrt6,\qquad u:=-\frac{5a+c}{b},\ v:=-\frac{2a}{b}$$ とおける。$a\ne0,\,b\ne0$ より $u,v$ は有理数であり，$v\ne0$ である。

この両辺を平方すると $$(\sqrt2+\sqrt3)^2=u^2+2uv\sqrt6+6v^2$$ すなわち $$5+2\sqrt6=(u^2+6v^2)+2uv\sqrt6$$ である。もし $uv\ne1$ ならば，これを $\displaystyle \sqrt6=\dfrac{5-(u^2+6v^2)}{2uv-2}$ と変形でき，右辺は有理数どうしの演算だから $\sqrt6$ が有理数となって矛盾する。ゆえに $$uv=1$$ でなければならず，このとき残る部分の比較から $$u^2+6v^2=5$$ も成り立つ。

$uv=1$ かつ $v\ne0$ であるから $u\ne0$ で，$\displaystyle v=\dfrac1u$ である。これを $u^2+6v^2=5$ に代入すると $$\displaystyle u^2+\frac{6}{u^2}=5$$ となり，両辺に $u^2$（$>0$）を掛けて整理すると $$u^4-5u^2+6=0 \quad\text{より}\quad (u^2-2)(u^2-3)=0$$ を得る。よって $u^2=2$ または $u^2=3$ である。しかし $u$ は有理数であるから $u^2$ も有理数であり，もし $u^2=2$ なら $|u|=\sqrt2$ となって $\sqrt2$ が有理数であることになり矛盾し，もし $u^2=3$ なら同様に $\sqrt3$ が有理数であることになって矛盾する。したがって，$b\ne0$ の場合も矛盾が生じる。

(i),(ii)のいずれの場合も矛盾するから，$\sqrt2+\sqrt3$ を解にもち，係数がすべて有理数の2次方程式は存在しない。$\blacksquare$