1九州大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) 円 $C_1$, $C_2$ の中心の座標

$\overrightarrow{OP}=(1,0,\sqrt3)$ であるから $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{1^2+0^2+(\sqrt3)^2}=2$ である。直線 $OP$ と直交する平面は，法線ベクトルが $\overrightarrow{OP}$ に平行であるから $$x+\sqrt3\,z=k \quad (k\text{は実数の定数})$$ の形に表せる。

この平面と原点 $O$ との距離は $\displaystyle \dfrac{|k|}{|\overrightarrow{OP}|}=\dfrac{|k|}{2}$ である。球 $S$（中心 $O$，半径3）とこの平面の交わりの円の半径を $r$ とすると，三平方の定理より $$\displaystyle r^2=3^2-\left(\frac{k}{2}\right)^2=9-\frac{k^2}{4}$$ が成り立つ。

$C_1,\,C_2$ の半径がともに1であるという条件から $$\displaystyle 9-\frac{k^2}{4}=1 \;\text{より}\; k^2=32 \;\text{より}\; k=\pm4\sqrt2 .$$

原点からこの平面へ下ろした垂線の足（＝円の中心）は，$\overrightarrow{OP}$ 方向への正射影として $$\displaystyle \frac{k}{|\overrightarrow{OP}|^2}\,\overrightarrow{OP}=\frac{k}{4}(1,0,\sqrt3)$$ で与えられる（この点は平面 $x+\sqrt3z=k$ 上にあり，かつ $\overrightarrow{OP}$ に平行なので，条件を満たす垂線の足である）。

$k=4\sqrt2$ のとき，中心は $$\displaystyle \frac{4\sqrt2}{4}(1,0,\sqrt3)=\sqrt2\,(1,0,\sqrt3)=(\sqrt2,0,\sqrt6)$$ で $z$ 座標は $\sqrt6>0$。

$k=-4\sqrt2$ のとき，中心は $(-\sqrt2,0,-\sqrt6)$ で $z$ 座標は $-\sqrt6<0$。

条件「$C_1$ の中心の $z$ 座標は正，$C_2$ の中心の $z$ 座標は負」より $$C_1\text{の中心}=(\sqrt2,\,0,\,\sqrt6),\qquad C_2\text{の中心}=(-\sqrt2,\,0,\,-\sqrt6).$$

（検算）いずれも原点からの距離は $\sqrt{2+0+6}=2\sqrt2$ であり，$3^2-(2\sqrt2)^2=9-8=1$ となって半径1と整合する。また両中心は $(1,0,\sqrt3)$ の実数倍だから直線 $OP$ 上にあり，$T_1,T_2$ が直線 $OP$ と直交するという設定とも矛盾しない。

(2) 円柱の側面を平面 $z=0$ で切った切り口

$C_1,C_2$ を底面とする円柱は，半径1で，軸が直線 $OP$（原点 $O$ を通り方向ベクトル $(1,0,\sqrt3)$）に一致する円柱である。単位方向ベクトルを $$\displaystyle \vec u=\frac12(1,0,\sqrt3)$$ とおくと，(1)の結果より2つの底面の中心は，軸上の座標を $t$（$O$ から $\vec u$ 方向に測った符号付き距離，中心は $t\vec u$）として，$t=2\sqrt2$（$C_1$）と $t=-2\sqrt2$（$C_2$）に対応する。円柱の側面上の点は $$\vec X=t\,\vec u+\vec w,\qquad \vec w\perp\vec u,\ |\vec w|=1,\qquad -2\sqrt2\le t\le 2\sqrt2$$ と表せる。$\vec w=(w_1,w_2,w_3)$ とおくと，$\vec u\cdot\vec w=0$ より $$\displaystyle \frac12 w_1+\frac{\sqrt3}{2}w_3=0 \;\text{より}\; w_1=-\sqrt3\,w_3,$$ $|\vec w|=1$ より $$w_1^2+w_2^2+w_3^2=1 \;\text{より}\; w_2^2+4w_3^2=1. \tag{$\ast$}$$

このとき点 $\vec X=(x,y,z)$ の座標は $$\displaystyle x=\frac{t}{2}+w_1,\qquad y=w_2,\qquad z=\frac{\sqrt3}{2}t+w_3$$ である。$z=0$ とおくと $$\displaystyle t=-\frac{2w_3}{\sqrt3}.$$ これを $x$ の式に代入すると $$\displaystyle x=\frac12\left(-\frac{2w_3}{\sqrt3}\right)+(-\sqrt3\,w_3)=-\frac{w_3}{\sqrt3}-\sqrt3\,w_3=-\frac{4}{\sqrt3}w_3,$$ すなわち $\displaystyle w_3=-\dfrac{\sqrt3}{4}x$。また $y=w_2$。これらを $(\ast)$ に代入して $w_2,w_3$ を消去すると $$\displaystyle y^2+4\left(-\frac{\sqrt3}{4}x\right)^2=1 \;\text{より}\; y^2+\frac34x^2=1,$$ すなわち $$3x^2+4y^2=4 \qquad (z=0).$$

なお $(\ast)$ より $\displaystyle |w_3|\le\dfrac12$ だから $\displaystyle |t|=\dfrac{2|w_3|}{\sqrt3}\le\dfrac{1}{\sqrt3}<2\sqrt2$ となり，$t$ は常に底面の範囲 $-2\sqrt2\le t\le2\sqrt2$ の内側に収まる。したがって平面 $z=0$ は円柱の側面のみを一周切っており，切り口は途切れのない閉じた楕円全体になる。

整理すると，切り口の曲線は $xy$ 平面上（$z=0$）で $$\displaystyle \frac{x^2}{4/3}+y^2=1$$ と表される，原点を中心とする楕円であり，$x$ 軸方向の半径は $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$，$y$ 軸方向の半径は $1$ である（長軸は $x$ 軸上で頂点 $\displaystyle \left(\pm\dfrac{2\sqrt3}{3},0\right)$，短軸は $y$ 軸上で頂点 $(0,\pm1)$）。

（検算1）$w_2=1,w_3=0$ に対応する点は $t=0$，$(x,y,z)=(0,1,0)$。原点からの距離は $1$ であり，$3\cdot0^2+4\cdot1^2=4$ を満たす。

（検算2）$\displaystyle w_3=-\dfrac12,\,w_2=0$ に対応する点は $\displaystyle t=\dfrac{1}{\sqrt3}$，$\displaystyle (x,y,z)=\left(-\dfrac{2}{\sqrt3},0,0\right)$。$\displaystyle 3\left(\dfrac{2}{\sqrt3}\right)^2+4\cdot0^2=3\cdot\dfrac43=4$ を満たし，方程式と整合する。

図示 $xy$ 平面（$z=0$）上に，原点を中心とし，$x$ 軸方向の頂点を $\displaystyle \left(\pm\dfrac{2\sqrt3}{3},0\right)$，$y$ 軸方向の頂点を $(0,\pm1)$ とする横長の楕円を描く。