II日本医科大学 2026年 数学 第II問解答・解説

日本医科大学 2026年度 数学（前期）II

問題 ID: `MM-30d563adf1c3-Q2`

問1 平面 $\pi$

$$\overrightarrow{AB}=(2,-1,-2),\qquad \overrightarrow{AC}=(-2,0,1).$$ これらに垂直なベクトルとして $(1,-2,2)$ をとれる（内積はいずれも0）。よって平面は $$x-2y+2z+d=0$$ とおける。点 $A(1,2,4)$ を代入すると $1-4+8+d=0$ より $d=-5$。したがって $$\boxed{\pi:\ x-2y+2z-5=0}.$$

問2 点 $E$

法線ベクトルを $\boldsymbol n=(1,-2,2)$ とすると $|\boldsymbol n|^2=9$。平面左辺を $\phi(x,y,z)=x-2y+2z-5$ とおくと、$\phi(D)=-9$ だから、点 $D$ から平面に下ろした垂線の足 $F$ は $$\displaystyle F=D-\frac{\phi(D)}{|\boldsymbol n|^2}\boldsymbol n =(2,4,1)+(1,-2,2)=(3,2,3).$$ 対称な点では $F$ が $DE$ の中点なので $$E=2F-D=(6,4,6)-(2,4,1)=\boxed{(4,0,5)}.$$

問3 円 $K$ の中心と半径

$\triangle BCD$ の重心は $$\displaystyle G=\left(\frac{3-1+2}{3},\frac{1+2+4}{3},\frac{2+5+1}{3}\right) =\left(\frac43,\frac73,\frac83\right).$$ 球面 $S$ の半径は $$\displaystyle EG^2=\left(-\frac83\right)^2+\left(\frac73\right)^2+ \left(-\frac73\right)^2=18, \qquad EG=3\sqrt2.$$ 球の中心 $E$ と平面 $\pi$ の距離は $$\displaystyle \frac{|\phi(E)|}{|\boldsymbol n|}=\frac9{3}=3.$$ したがって交円の中心は $E$ から $\pi$ への垂線の足 $$\displaystyle E-\frac{\phi(E)}9\boldsymbol n=E-\boldsymbol n=(3,2,3)$$ であり、半径を $\rho$ とすると直角三角形より $$\rho^2=(3\sqrt2)^2-3^2=9,\qquad \rho=3.$$ よって、$\boxed{K\text{ の中心 }(3,2,3),\ \text{半径 }3}$。

問4 $(d_P)^2$ の最小値

$G$ から平面 $\pi$ への垂線の足を $G_0$ とする。$\phi(G)=-3$ なので $$\displaystyle G_0=G-\frac{\phi(G)}9\boldsymbol n =G+\frac13\boldsymbol n =\left(\frac53,\frac53,\frac{10}3\right), \qquad GG_0=1.$$ また $K$ の中心を $F=(3,2,3)$ とすると、 $$\displaystyle FG_0^2=\left(-\frac43\right)^2+ \left(-\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^2=2, \qquad FG_0=\sqrt2<3.$$ いずれも $\pi$ 上にあり、$G_0$ は円の中心から距離 $\sqrt2$ の円内の点である。したがって円周上で $G_0$ に最も近い点までの距離は $3-\sqrt2$。さらに $GG_0\perp\pi$ だから円 $K$ 上の任意の点 $P$ について $$GP^2=GG_0^2+G_0P^2$$ となる。よって $$\displaystyle \min\limits _{P\text{ は }K\text{ 上}}(d_P)^2 =1+(3-\sqrt2)^2 =\boxed{12-6\sqrt2}.$$

**使用解法:** 平面の法線ベクトル、点と平面の垂線の足、球と平面の交円、直角三角形による距離分解。