2京都大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$\mathbf{u}=\overrightarrow{OA},\ \mathbf{v}=\overrightarrow{OB},\ \mathbf{w}=\overrightarrow{OC}$ とおく。各面は一辺1の正三角形なので、$\displaystyle \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\frac12$ である。

$0\leq t,s\leq1$ として、辺$OA$上の点$P$と辺$BC$上の点$Q$をそれぞれ$\overrightarrow{OP}=t\mathbf{u}$、$\overrightarrow{OQ}=(1-s)\mathbf{v}+s\mathbf{w}$ と表す。辺$BC$の中点を$N$とすると、$\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{\mathbf{v}+\mathbf{w}}2$、$\displaystyle \overrightarrow{NQ}=(s-\frac12)(\mathbf{w}-\mathbf{v})$ である。

まず、$\displaystyle \overrightarrow{PN}\cdot(\mathbf{w}-\mathbf{v})=t\mathbf{u}\cdot(\mathbf{w}-\mathbf{v})-\frac12(\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{w}-\mathbf{v})=0$ となる。よって$PN\perp BC$である。また、$\displaystyle \overrightarrow{PN}=t\mathbf{u}-\frac{\mathbf{v}+\mathbf{w}}2$ より、$\displaystyle PN^2=t^2-t+\frac34=(t-\frac12)^2+\frac12$ を得る。

したがって、$PN\perp NQ$、$|\mathbf{w}-\mathbf{v}|=1$ に注意すると、$\displaystyle PQ^2=PN^2+NQ^2=(t-\frac12)^2+(s-\frac12)^2+\frac12$ である。$0\leq t,s\leq1$ より$\displaystyle \frac12\leq PQ^2\leq1$ だから、辺$OA$上の点と辺$BC$上の点との距離はすべて$\displaystyle \frac1{\sqrt2}\leq PQ\leq1$ を満たす。さらに$t=s$ として$t$を$\displaystyle \frac12$から1まで動かすと、$\displaystyle PQ^2=2(t-\frac12)^2+\frac12$ は$\displaystyle \frac12$から1まで連続的に変化する。したがって、これらの点間距離として実現する値の範囲はちょうど$\displaystyle \frac1{\sqrt2}\leq PQ\leq1$ である。

半径$r$の球面が辺$BC$と共有点をもつことは、辺$OA$上のある点$P$と辺$BC$上のある点$Q$について$PQ=r$となることと同値である。よって、どの$P$を中心にしても球面が辺$BC$と共有点をもたないためには、$r$が上の距離の範囲に含まれなければよい。$r>0$ より、求める範囲は$\displaystyle 0<r<\frac1{\sqrt2}$ または$r>1$ である。