5京都大学 2026年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=\sin(x+a),\ g(x)=\sin(x-a)$ とおくと， $$\displaystyle f(x)-g(x)=2\sin a\cos x\geq 0\quad\left(-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}\right).$$ また，$f(-x)=-g(x),\ g(-x)=-f(x)$ であるから，$x$ と $-x$ における縦線分を $x$ 軸のまわりに回転してできる断面積は等しい。回転断面積を $\pi Q(x)$ とおけば，体積は $$\displaystyle V=2\pi\int_0^{\pi/2}Q(x)\,dx$$ である。

まず $\displaystyle 0<a\leq\frac{\pi}{2}$ とする。$0\leq x\leq a$ では $g(x)\leq0\leq f(x)$ であり， $$f(x)+g(x)=2\sin x\cos a\geq0$$ より $f(x)\geq-g(x)$ だから，回転断面は半径 $f(x)$ の円板となり，$Q(x)=f(x)^2$ である。$\displaystyle a\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ では $0\leq g(x)\leq f(x)$ なので，回転断面は外半径 $f(x)$，内半径 $g(x)$ の円環となる。また $$f(x)^2-g(x)^2=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=\sin2a\sin2x.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}Q(x)\,dx &=\int_0^a\sin^2(x+a)\,dx+\sin2a\int_a^{\pi/2}\sin2x\,dx\\ &=\frac a2+\frac{\sin2a-\sin4a}{4}+\sin2a\cos^2a\\ &=\frac a2+\frac34\sin2a. \end{aligned}$$

次に $\displaystyle \frac{\pi}{2}<a<\pi$ とし，$b=\pi-a$ とおく。このとき $\displaystyle 0<b<\frac{\pi}{2}$ である。$0\leq x\leq b$ では $g(x)\leq0\leq f(x)$ かつ $f(x)+g(x)=2\sin x\cos a\leq0$ なので，$-g(x)\geq f(x)$ となり，$Q(x)=g(x)^2=\sin^2(x+b)$ である。$\displaystyle b\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ では $g(x)\leq f(x)\leq0$ だから，$Q(x)=g(x)^2-f(x)^2$ であり，$\sin2b=-\sin2a$ より $$g(x)^2-f(x)^2=\sin2b\sin2x.$$ ゆえに，上と同じ計算を $a$ の代わりに $b$ について行うと $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}Q(x)\,dx=\frac b2+\frac34\sin2b.$$

以上で $\displaystyle m=\min\{a,\pi-a\}$ とすれば，いずれの場合も $$\displaystyle \boxed{V=2\pi\left(\frac m2+\frac34\sin2m\right)=\pi m+\frac{3\pi}{2}\sin2m}$$ を得る。