筑波大学 2019年数学第4問解答・解説

三角関数積分法

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1問題

筑波大学2019年度第4問

$0 \leq x \leq \pi$ の範囲において, 関数 $f(x)$ , $g(x)$ を

$f (x) = 1 + \sin x, g (x) = - 1 - \cos x$

と定める。

(1) $0 \leq x \leq \pi$ の範囲において, $|f(x)| = |g(x)|$ を満たす x を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ ，曲線 $y = g(x)$ ，直線 x = 0 および直線 $x = \pi$ で囲まれる部分を，x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

fとgの符号から回転断面を円板とし、|f|=|g|となるxで最大半径を切り替えて積分する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned}(1)\quad &x=\frac\pi4.\\(2)\quad &V=\pi\left(\int_0^{\pi/4}(1+\cos x)^2\,dx+\int_{\pi/4}^{\pi}(1+\sin x)^2\,dx\right)=\frac\pi2\left(3\pi+4\sqrt2+5\right).\end{aligned}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}&0\le x\le\pi:\quad f(x)=1+\sin x>0,\quad g(x)=-1-\cos x\le0,\&|f(x)|=|g(x)|\quad\text{すなわち}\quad 1+\sin x=1+\cos x\quad\text{すなわち}\quad\sin x=\cos x,\&x=\frac\pi4\quad(0\le x\le\pi).\&\cos x\ge\sin x\quad\left(0\le x\le\frac\pi4\right),\qquad \sin x\ge\cos x\quad\left(\frac\pi4\le x\le\pi\right),\&R(x)=\max\{f(x),|g(x)|\}=\begin{cases}1+\cos x&0\le x\le\pi/4,\\1+\sin x&\pi/4\le x\le\pi,\end{cases}\&V=\pi\int_0^\pi R(x)^2\,dx=\pi\left(\int_0^{\pi/4}(1+\cos x)^2\,dx+\int_{\pi/4}^{\pi}(1+\sin x)^2\,dx\right).\&\int_0^{\pi/4}(1+\cos x)^2\,dx=\left[\frac{3x}{2}+2\sin x+\frac{\sin2x}{4}\right]_0^{\pi/4}=\frac{3\pi}{8}+\sqrt2+\frac14,\&\int_{\pi/4}^{\pi}(1+\sin x)^2\,dx=\left[\frac{3x}{2}-2\cos x-\frac{\sin2x}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi}=\frac{9\pi}{8}+\sqrt2+\frac94,\&V=\pi\left(\frac{3\pi}{2}+2\sqrt2+\frac52\right)=\frac\pi2(3\pi+4\sqrt2+5).\end{aligned}$

この問題で使う考え方

一般角と弧度法
三角関数の周期・グラフ
三角関数の相互関係
三角・指数・対数関数等の積分
定積分による体積

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