5筑波大学 2019年 数学 第5問解答・解説

（1）$t>0$、$0\le u\le t$ なら $1\le e^u\le e^t$。積分して $t\le e^t-1\le te^t$、tで割れば所要不等式。

$a_n=2^{-n}$ より $a_n=2a_{n+1}$。したがって $$e^{a_n}-1=(e^{a_{n+1}}-1)(e^{a_{n+1}}+1),\quad y_n=y_{n+1}+x_{n+1}.$$ よって $\displaystyle z_n=y_n+\sum\limits _{k=1}^n x_k=z_{n+1}$。また $$z_1=\log(e^{1/2}-1)+\log(e^{1/2}+1)=\log(e-1),$$ ゆえに（2）。

（3）第 $n$ 部分和を $S_n$ とする。（2）より $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n x_k-n\log2 =\log(e-1)-\log\left(2^n(e^{a_n}-1)\right) =\log(e-1)-\log\left(\frac{e^{a_n}-1}{a_n}\right),$$ 最後は $a_n=2^{-n}$ を使用した。（1）を $t=a_n$ に使うと $$\displaystyle 1\le\frac{e^{a_n}-1}{a_n}\le e^{a_n}\longrightarrow1.$$ 従って $S_n$ は $\log(e-1)$ に収束し、無限級数の和も同値となる。