2徳島大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) $0<x<1$ より、積分を $t=x$ で分けると、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1|t-x|\,dt &=\int_0^x(x-t)\,dt+\int_x^1(t-x)\,dt\\ &=\frac{x^2}{2}+\frac{(1-x)^2}{2}=x^2-x+\frac{1}{2}. \end{aligned}$$ したがって、数列の漸化式は $$\displaystyle a_{n+1}=2a_n^2-2a_n+1=\frac{1}{2}+2\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2\quad(n\geq1)$$ と書ける。

(2) $n=1$ では $a_1=\alpha$ かつ $\displaystyle \frac{1}{2}<\alpha<1$ なので成立する。$\displaystyle \frac{1}{2}<a_n<1$ と仮定すると、 $$\displaystyle 0<a_n-\frac{1}{2}<\frac{1}{2},\qquad 0<2\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2<\frac{1}{2}$$ となる。よって漸化式から $\displaystyle \frac{1}{2}<a_{n+1}<1$ である。以上より数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ で $$\displaystyle \frac{1}{2}<a_n<1$$ が成り立つ。

(3) (2)より $\displaystyle a_n-\frac{1}{2}>0$ なので対数をとることができる。漸化式から $$b_{n+1}=\log 2+2b_n$$ である。そこで $c_n=b_n+\log 2$ とおくと $c_{n+1}=2c_n$ であり、 $$\displaystyle c_1=\log\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)+\log 2=\log(2\alpha-1)$$ である。したがって $c_n=2^{n-1}\log(2\alpha-1)$ だから、 $$b_n=2^{n-1}\log(2\alpha-1)-\log 2.$$

(4) $\displaystyle x_n=a_n-\frac{1}{2}$ とおけば、$x_{n+1}=2x_n^2$ かつ $\displaystyle x_1=\frac{2\alpha-1}{2}$ である。これを繰り返すと $$\displaystyle x_n=\frac{1}{2}(2\alpha-1)^{2^{n-1}}$$ となる（この式は $n=1$ で成り立ち、$x_{n+1}=2x_n^2$ に代入すれば次の $n$ でも成り立つ）。$0<2\alpha-1<1$ なので $$(2\alpha-1)^{2^{n-1}}\to0.$$ ゆえに $\displaystyle a_n=\frac{1}{2}+x_n\to\frac{1}{2}$。

絶対値積分を区間分割して計算し、$\displaystyle a_n-\frac12$に関する二次漸化式を得る。(2)は数学的帰納法、(3)は対数の性質で一次漸化式に直して解き、(4)は$\displaystyle a_n-\frac12$の一般項から極限を求める。