徳島大学 2019年数学第3問解答・解説

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1問題

徳島大学2019年度第3問

原点を $O$ 、点 $A$ を $(1,0)$ とする。点 $P(x,y)$ を $OP=1$ かつ $y>0$ となるようにとり、 $\displaystyle \angle OAP=\theta\ \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$ とおく。線分 $AP$ を $\cos\theta:(1-\cos\theta)$ に内分する点を $M$ とし、 $\angle OAP$ の2等分線と線分 $OM$ との交点を $Q$ とする。

(1) $P$ の座標を $\theta$ を用いて表せ。

(2) $Q$ の座標を $\theta$ を用いて表せ。

(3) $\triangle OAQ$ の面積の最大値とそのときの $\theta$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $P=\left(-\cos 2\theta,\sin 2\theta\right)$ 。 (2) $\displaystyle Q=\left(\frac{1-2\cos^3\theta}{1+2\cos^2\theta},\frac{2\sin\theta\cos^2\theta}{1+2\cos^2\theta}\right)$ 。 (3) $\displaystyle \text{最大面積}=\frac{\sqrt2}{8},\quad\theta=\frac{\pi}{4}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $OA=OP=1$ より二等辺三角形の頂角は $\pi-2\theta$ 。したがって $P=(\cos(\pi-2\theta),\sin(\pi-2\theta)) =(-\cos2\theta,\sin2\theta).$ 正弦定理から $AP=\sin(\pi-2\theta)/\sin\theta=2\cos\theta$ 。 (2) $c=\cos\theta,s=\sin\theta$ とおく。 $AM:MP=c:(1-c)$ だから $AM/AP=c$ 、内分点の公式より $M=(1-c)A+cP=(1-2c^3,2sc^2).$ 三角形OAMでAQは角の二等分線、また $AM=2c^2$ 。角の二等分線定理より $OQ:QM=1:2c^2$ 、ゆえに $\displaystyle Q=\frac{M}{1+2c^2} =\left(\frac{1-2c^3}{1+2c^2},\frac{2sc^2}{1+2c^2}\right).$ (3) $OA=1$ より三角形OAQの面積は $S=sc^2/(1+2c^2)$ 。 $z=c^2$ と置けば $s^2=1-z$ で、 $\displaystyle \frac1{32}-S^2 =\frac{(2z-1)^2(8z+1)}{32(1+2z)^2}\ge0.$ 等号は $z=1/2$ 、つまり $\theta=\pi/4$ のとき。従って最大面積は $1/\sqrt{32}=\sqrt2/8$ 。

この問題で使う考え方

正弦定理
内分点の公式
角の二等分線の定理
平方の因数分解による最大値

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