1徳島大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(4)=4^2(4^2+8)=16\cdot24=384=2^7\cdot3$ なので、正の約数の個数は $(7+1)(1+1)=16$ 個。

(2) $n$ が3の倍数なら $n^2$ が3の倍数である。そうでなければ $n=3k+1$ または $n=3k+2$ と書ける。前者では $n^2+8=3(3k^2+2k+3)$、後者では $n^2+8=3(3k^2+4k+4)$ となる。したがって常に $f(n)$ は3の倍数。

(3) $D(N)$ を正の整数 $N$ の正の約数の個数とする。$n$ は正とする。もし自然数に0を含めても、$f(0)=0$ は正の約数を無数にもつので候補に入らない。

$n$ が奇数なら $\gcd(n^2,n^2+8)$ は8を割り、かつ奇数なので1。よって $D(f(n))=D(n^2)\cdot D(n^2+8)$。平方数 $n^2$ の約数個数 $D(n^2)$ は奇数であり、積が10だから $D(n^2)=1$ または $5$。

$D(n^2)=1$ なら $n=1$ だが、$f(1)=9$ の約数は3個で不適。$D(n^2)=5$ なら素因数分解の約数個数公式から $n^2=p^4$、すなわち $n=p^2$（$p$ は素数）であり、$D(p^4+8)=2$ なので $p^4+8$ は素数。$p$ が3でない素数なら $p^4$ は3で割ると1余るため $p^4+8$ は3の倍数で、しかも3より大きく素数にならない。したがって $p=3$、$n=9$。実際 $p^4+8=89$ は素数である（2,3,5,7では割り切れない）から、$D(9^2)=5$、$D(9^2+8)=2$ で条件を満たす。

次に $n=2^a m$（$a\ge 1$、$m$ は奇数）とする。

$a=1$ なら $m^2$ と $m^2+2$ は互いに素な奇数であり、16の素因数2とも互いに素なので、 $$\begin{aligned} f(n)&=16m^2(m^2+2),\\ D(f(n))&=5D(m^2)\cdot D(m^2+2). \end{aligned}$$ これが10となるには $D(m^2)\cdot D(m^2+2)=2$。$m^2+2>1$ なので $D(m^2+2)\ge 2$、よって $D(m^2)=1$、$m=1$。したがって $n=2$ であり、$f(2)=48=2^4\cdot3$、$D(f(2))=10$。

$a\ge 2$ なら最後の因子は1より大きい奇数で、$m^2$ と互いに素である。したがって $$\begin{aligned} f(n)&=2^{2a+3}m^2(2^{2a-3}m^2+1),\\ D(f(n))&=(2a+4)D(m^2)\cdot D(2^{2a-3}m^2+1)\\ &\ge(2a+4)\cdot2\ge16. \end{aligned}$$ これは10ではない。以上から $n=2,9$。

(1) $f(4)=4^2(4^2+8)=16\cdot24=384=2^7\cdot3$ なので、正の約数の個数は $(7+1)(1+1)=16$ 個。

(2) $n$ が $3$ の倍数なら $n^2$ が $3$ の倍数である。そうでなければ $n=3k+1$ または $n=3k+2$ と書ける。前者では $n^2+8=3(3k^2+2k+3)$、後者では $n^2+8=3(3k^2+4k+4)$ となる。したがって常に $f(n)$ は $3$ の倍数。

(3) $D(N)$を正の整数$N$の正の約数の個数とする。$n$は正とする。もし自然数に0を含めても $f(0)=0$ は正の約数を無数にもつので候補に入らない。

$n$が奇数なら $\gcd(n^2,n^2+8)$ は $8$ を割り、かつ奇数なので $1$。よって $D(f(n))=D(n^2)D(n^2+8)$。平方数 $n^2$ の約数個数 $D(n^2)$ は奇数であり、積が $10$ だから $D(n^2)=1$ または $5$。

$D(n^2)=1$なら $n=1$ だが、$f(1)=9$ の約数は3個で不適。$D(n^2)=5$なら素因数分解の約数個数公式から $n^2=p^4$、すなわち $n=p^2$（$p$は素数）であり、$D(p^4+8)=2$なので $p^4+8$ は素数。$p\ne3$なら $p^4$ は $3$ で割ると $1$ 余るため $p^4+8$ は $3$ の倍数で、しかも3より大きく素数にならない。したがって $p=3$、$n=9$。実際 $p^4+8=89$ は素数である（2,3,5,7では割り切れない）から、$D(9^2)=5$、$D(9^2+8)=2$ で条件を満たす。

次に $n=2^a m$（$a\ge1$、$m$は奇数）とする。$a=1$なら $f(n)=16m^2(m^2+2)$。$m^2$と$m^2+2$は互いに素な奇数で、いずれも16の素因数2とは共通因子を持たないから $D(f(n))=5D(m^2)D(m^2+2)$。これが10となるには $D(m^2)D(m^2+2)=2$。$m^2+2>1$なので $D(m^2+2)\ge2$、よって $D(m^2)=1$、$m=1$。したがって $n=2$ であり、$f(2)=48=2^4\cdot3$、$D(f(2))=10$。

$a\ge2$なら $f(n)=2^{2a+3}m^2(2^{2a-3}m^2+1)$。最後の因子は1より大きい奇数で、m²と互いに素である。したがって $D(f(n))=(2a+4)D(m^2)D(2^{2a-3}m^2+1)\ge(2a+4)\cdot2\ge16$ となり、$10$ではない。以上から $n=2,9$。