9秋田大学 2019年 数学 第9問解答・解説

PDF p1医学部指定6,7,8,9に問9を含む。p9の各整数条件を確認。

(i) $n+S(n)=100$ かつ $S(n)\geq1$ より $n<100$。そこで $n=10a+b$（$0\leq a,b\leq9$）とすると、$S(n)=a+b$ であるから $$11a+2b=100.$$ $0\leq b\leq9$ なので $82\leq11a\leq100$、従って $a=8$ または $9$。$a=8$ なら $b=6$、$a=9$ なら $2b=1$ となって不適。よって $n=86$。

(ii) 11桁以下の自然数の各位の和は最大でも $11\cdot9=99$ だから、条件を満たすには少なくとも12桁必要である。12桁の数の先頭の桁を最小の1にすると、残り11桁の和は99でなければならず、残りはすべて9となる。従って最小の数は $$199\,999\,999\,999$$ であり、その各位の和は $1+11\cdot9=100$。

(iii) $d$ 桁の数を $\displaystyle n=\sum\limits _{j=0}^{d-1}d_j10^j$（$d_{d-1}\geq1$、$0\leq d_j\leq9$）とすると $$\displaystyle n-27S(n)=\sum\limits _{j=0}^{d-1}d_j(10^j-27).$$ 5桁以上なら最高位の項は少なくとも $10^4-27=9973$。負の係数は一の位と十の位だけで、その寄与は合計でも $-9\cdot26-9\cdot17=-387$ 以上であり、他の項は非負である。よって $n-27S(n)\geq9586>2019$ となり、不等式を満たさない。従って $n$ は4桁以下であり、$S(n)\leq36$ より $$n\leq2019+27\cdot36=2991.$$ さらに $2700\leq n\leq2991$ と仮定し、$n=2000+100a+10b+c$（$7\leq a\leq9$、$0\leq b,c\leq9$）とおくと $$n-27S(n)=1946+73a-17b-26c\geq1946+73\cdot7-17\cdot9-26\cdot9=2070>2019.$$ この範囲の数も不等式を満たさない。従って解となる数は $2699$ 以下であり、$S(2699)=26$ なので $2699\leq27\cdot26+2019=2721$。ゆえに最大値は $2699$。