8秋田大学 2019年 数学 第8問解答・解説

$z_n=a_n+b_n i$ とおく。

(i) 初項に現れる複素数の絶対値は $\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2$ で、偏角は $\pi/3$ である。よって極形式は $$\displaystyle a_1+b_1i=1+\sqrt3i=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$

(ii) 漸化式を複素数でまとめると $$\begin{aligned} z_{n+1}&=(a_n-\sqrt3b_n)+(\sqrt3a_n+b_n)i\\ &=(1+\sqrt3i)(a_n+b_ni)=(1+\sqrt3i)z_n. \end{aligned}$$ $n=1$ では $z_1=1+\sqrt3i$ なので $z_1=(1+\sqrt3i)^1$。ある $n$ で $z_n=(1+\sqrt3i)^n$ と仮定すると $$z_{n+1}=(1+\sqrt3i)z_n=(1+\sqrt3i)^{n+1}.$$ 数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $$a_n+b_ni=(1+\sqrt3i)^n$$ が成り立つ。

(iii) (i)と(ii)にド・モアブルの定理を用いると $$\displaystyle a_n+b_ni=2^n\left(\cos\frac{n\pi}{3}+i\sin\frac{n\pi}{3}\right).$$ 実部と虚部を比較して $$\displaystyle a_n=2^n\cos\frac{n\pi}{3},\qquad b_n=2^n\sin\frac{n\pi}{3}.$$

(iv) 問題の定義式と(iii)から $$\displaystyle x_n+y_ni=2^n\left(\cos\theta_n+i\sin\theta_n\right),\qquad \theta_n=\frac{n\pi}{3}+\frac{3\pi}{4},$$ となる。したがって $x_n=2^n\cos\theta_n$ は $n$ を3で割った余りに応じて $2^n\cos(3\pi/4)$、$2^n\cos(13\pi/12)$、$2^n\cos(17\pi/12)$ のいずれかであり、いずれも0ではない。よって比はすべて定義される。また、角を $\pi$ を法として整理すると $$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}=\tan\theta_n=\begin{cases} -1 &(n\equiv0\pmod3),\\ \tan(\pi/12)=2-\sqrt3 &(n\equiv1\pmod3),\\ \tan(5\pi/12)=2+\sqrt3 &(n\equiv2\pmod3). \end{cases}$$ ここで $\tan(\pi/12)=\tan(\pi/4-\pi/6)=2-\sqrt3$、$\tan(5\pi/12)=\tan(\pi/4+\pi/6)=2+\sqrt3$。後二つは正であり、最初の値 $-1$ は $n=3$ などで実際にとる。従って最小値は $$\boxed{-1}.$$