4秋田大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(i) 内分比より $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac12\overrightarrow{OA},\quad \overrightarrow{OQ}=\frac23\overrightarrow{OB},\quad \overrightarrow{OR}=\frac34\overrightarrow{OC}$。三角形 $OQR$ の重心 $G$ について、重心の位置ベクトルは3頂点の位置ベクトルの平均だから、$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac13(\overrightarrow{OO}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR})=\frac29\overrightarrow{OB}+\frac14\overrightarrow{OC}$。

(ii) $\overrightarrow{PF}=k\overrightarrow{PQ}+l\overrightarrow{PR}$ より、$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OP}+k(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})+l(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP})=(1-k-l)\overrightarrow{OP}+k\overrightarrow{OQ}+l\overrightarrow{OR}$。

(iii) $F$ は直線 $AG$ 上にあるので、ある実数 $u$ を用いて $\displaystyle \overrightarrow{OF}=(1-u)\overrightarrow{OA}+u\overrightarrow{OG}=(1-u)\overrightarrow{OA}+\frac{2u}{9}\overrightarrow{OB}+\frac{u}{4}\overrightarrow{OC}$。一方、$F$ は平面 $PQR$ 上にあるので(ii)の表し方を用い、(i)を代入すると $\displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac{1-k-l}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2k}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{3l}{4}\overrightarrow{OC}$。四面体より $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立だから係数を比較して $\displaystyle \frac{1-k-l}{2}=1-u,\quad \frac{2k}{3}=\frac{2u}{9},\quad \frac{3l}{4}=\frac{u}{4}$。後二式から $\displaystyle k=l=\frac{u}{3}$。これを第一式に代入すると $\displaystyle u=\frac34$、したがって $\displaystyle k=l=\frac14$。よって $\displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac14\overrightarrow{OA}+\frac16\overrightarrow{OB}+\frac{3}{16}\overrightarrow{OC}$ であり、$\displaystyle r=\frac14,\ s=\frac16,\ t=\frac{3}{16}$。