6秋田大学 2019年 数学 第6問解答・解説

$f(x)=\log(\log x)$, $g(x)=m(\log x)^2+n$。$x=e$ で共有点をもつから $0=m+n$。また $$\displaystyle f'(x)=\frac1{x\log x},\qquad g'(x)=\frac{2m\log x}{x}.$$ 接線の傾きが等しい条件を $x=e$ で使うと $1/e=2m/e$。従って $m=1/2,n=-1/2$。

積分①は部分積分により $$\displaystyle \int_e^{e^2}x\log x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}\right]_e^{e^2}=\frac{3e^4-e^2}{4}.$$ ②は $$\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\log x}=\left[\log(\log x)\right]_e^{e^2}=\log2.$$ ③で $u=\log(\log x)$ と置けば $du=dx/(x\log x)$、端点は $0,\log2$ だから $$\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{\log(\log x)}{x\log x}\,dx=\int_0^{\log2}u\,du=\frac{(\log2)^2}{2}.$$

$x=e$で共有接点をもつ条件は$\displaystyle m=\frac12,\ n=-\frac12$。定積分は順に$\displaystyle \frac{3e^4-e^2}{4}$, $\log2$, $\displaystyle \frac{(\log2)^2}{2}$。