8愛媛大学 2011年 数学 第8問解答・解説

(1) 微分すると $$\displaystyle f'(x)=\log\frac{1-x}{x},\qquad f''(x)=-\frac1{1-x}-\frac1x=-\frac1{x(1-x)}<0.$$ $f'(x)>0$ は $0<x<1/2$、$f'(x)<0$ は $1/2<x<1$ で成り立つ。よって前半で増加、後半で減少し、$x=1/2$ で極大値 $f(1/2)=\log2$ をとる。極小値はなく、全区間で上に凸で変曲点もない。 $x\to+0$ のとき $x\log x\to0$、$(1-x)\log(1-x)\to0$ より $f(x)\to0$。また $f(1-x)=f(x)$ なので、$x\to1-0$ の極限も0である。したがって $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{x\to+0}f(x)=\lim\limits _{x\to1-0}f(x)=0}.$$ グラフは直線 $x=1/2$ に関して対称で、両端の点 $(0,0),(1,0)$ を含まない。最大値は $\log2$、最小値は存在しない。

(2) $u=1-x$ と置換すると、$p\le x\le1-p$ の範囲では $$\displaystyle \int_p^{1-p}(1-x)\log(1-x)\,dx=\int_p^{1-p}u\log u\,du.$$ したがって $\displaystyle S(p)=-2\int_p^{1-p}x\log x\,dx$。部分積分より $$\displaystyle \int x\log x\,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac12\int x\,dx =\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C.$$ ゆえに $$\displaystyle \begin{aligned} S(p)&=\left[-x^2\log x+\frac{x^2}{2}\right]_p^{1-p}\\ &=\boxed{p^2\log p-(1-p)^2\log(1-p)+\frac{1-2p}{2}}. \end{aligned}$$ (3) $p^2\log p=p(p\log p)\to0$、$(1-p)^2\log(1-p)\to0$ だから $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{p\to+0}S(p)=\frac12}.$$