4愛媛大学 2011年 数学 第4問解答・解説

中点の位置ベクトルは $$\displaystyle \vec{OP}=\frac{\vec b}{2},\quad \vec{OQ}=\frac{\vec c}{2},\quad \vec{OR}=\frac{\vec a+\vec c}{2},\quad \vec{OS}=\frac{\vec a+\vec b}{2}$$ である。

(1) $$\displaystyle \overrightarrow{AS}=\vec{OS}-\vec{OA}=\frac{\vec b-\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{AR}=\vec{OR}-\vec{OA}=\frac{\vec c-\vec a}{2}.$$

(2) $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}=\frac{\vec c-\vec b}{2},\quad \overrightarrow{PS}=\vec{OS}-\vec{OP}=\frac{\vec a}{2},\quad \overrightarrow{SR}=\vec{OR}-\vec{OS}=\frac{\vec c-\vec b}{2}.$$ さらに $\overrightarrow{QR}=\vec{OR}-\vec{OQ}=\vec a/2=\overrightarrow{PS}$ なので、$PQRS$ は平行四辺形である。

(3) $\vec a=(1,2,3),\ \vec b=(t,1,0),\ \vec c=(2,t,1)$ とおく。このとき $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\frac{(2-t,t-1,1)}2,\qquad \overrightarrow{PS}=\frac{(1,2,3)}2.$$

(i) 長方形となる条件は隣り合う辺が垂直であることだから、 $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PS} =\frac{(2-t)+2(t-1)+3}{4}=\frac{t+3}{4}=0.$$ よって $t=-3$。

(ii) ひし形となる条件は平行四辺形の隣り合う辺の長さが等しいことである。両辺の2乗を比較すると $$(2-t)^2+(t-1)^2+1=1^2+2^2+3^2=14,$$ すなわち $$2t^2-6t-8=2(t-4)(t+1)=0.$$ 四角形だけの候補は $t=4,-1$ である。ただし原文では $OABC$ は四面体とされている。$t=-1$ では $$\vec a-5\vec b=3\vec c$$ となり、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次従属である。したがって $O,A,B,C$ は同一平面上にあり、四面体の条件を満たさない。一方 $t=4$ では $\vec a=(1,2,3),\ \vec b=(4,1,0),\ \vec c=(2,4,1)$ である。$\lambda\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c=\vec0$ と仮定して成分を比べると $$\lambda+4\mu+2\nu=0,\qquad 2\lambda+\mu+4\nu=0,\qquad 3\lambda+\nu=0.$$ 最後の式から $\nu=-3\lambda$、最初の式から $\mu=5\lambda/4$。これらを真ん中の式に代入すると $-35\lambda/4=0$ なので $\lambda=0$、したがって $\mu=\nu=0$ である。よって $\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立で、$O,A,B,C$ は同一平面上にない。したがって原文の前提を含む答えは $t=4$。

中点の位置ベクトルを原点 O からのベクトルで表すと、 $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{\vec b}{2},\quad\overrightarrow{OQ}=\frac{\vec c}{2},\quad\overrightarrow{OR}=\frac{\vec a+\vec c}{2},\quad\overrightarrow{OS}=\frac{\vec a+\vec b}{2}$ である。

(1) 始点から終点へのベクトルは終点の位置ベクトルから始点の位置ベクトルを引いて $\displaystyle \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec b-\vec a}{2},\quad\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec c-\vec a}{2}$。

(2) 同様に $\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\frac{\vec c-\vec b}{2},\quad\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\frac{\vec a}{2},\quad\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OS}=\frac{\vec c-\vec b}{2}$。 さらに $\displaystyle \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}=\frac{\vec a}{2}=\overrightarrow{PS}$ なので、PQRS は平行四辺形である。

(3) $\vec a=(1,2,3),\quad\vec b=(t,1,0),\quad\vec c=(2,t,1)$ とする。このとき $\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\frac{(2-t,t-1,1)}2,\quad\overrightarrow{PS}=\frac{(1,2,3)}2$。

(i) 長方形となる条件は隣り合う辺が垂直であることだから、 $\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PS}=\frac{(2-t)+2(t-1)+3}{4}=\frac{t+3}{4}=0$。 よって $t=-3$。

(ii) ひし形となる条件は平行四辺形の隣り合う辺の長さが等しいことである。両辺の2乗を比較すると $(2-t)^2+(t-1)^2+1=1^2+2^2+3^2=14$, すなわち $2(t-4)(t+1)=0$。四角形だけの候補は $t=4,-1$ である。 ただし原文では OABC は四面体とされている。$t=-1$ では $\vec a-5\vec b=3\vec c$ となり、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次従属で $O,A,B,C$ は同一平面上にあるため、四面体の条件を満たさない。一方 $t=4$ では $\vec a=(1,2,3),\quad\vec b=(4,1,0),\quad\vec c=(2,4,1)$ である。$\lambda\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c=\vec0$ と仮定して成分を比べると $\lambda+4\mu+2\nu=0,\quad2\lambda+\mu+4\nu=0,\quad3\lambda+\nu=0$。最後の式から$\nu=-3\lambda$、最初の式から$\displaystyle \mu=\frac{5\lambda}{4}$。これらを真ん中の式に代入すると$\displaystyle -\frac{35\lambda}{4}=0$なので$\lambda=0$、したがって$\mu=\nu=0$である。よって$\vec a,\vec b,\vec c$は一次独立で、$O,A,B,C$は同一平面上にない。したがって原文の前提を含む答えは$t=4$。