10千葉大学 2011年 数学 第10問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned}&\vec{a}=\overrightarrow{OA},\quad\vec{b}=\overrightarrow{OB},\quad\vec{c}=\overrightarrow{OC}\text{ とおく。外心を原点とすると }|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|.\\(1)\quad &\overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac{1}{3}\vec a\text{ より }\vec b+\vec c=\vec 0.\\&\text{したがって }O\text{ は }BC\text{ の中点で，}BC\text{ は外接円の直径である。ゆえに }\angle BAC=90^\circ.\\(2)\quad &\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=k\vec a\text{ より }\vec b+\vec c=(3k-1)\vec a.\\&\text{また }(\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b)=|\vec c|^2-|\vec b|^2=0.\\&3k-1\ne0\text{ なので }\vec a\cdot(\vec c-\vec b)=0,\text{ すなわち }OA\perp BC.\\&O\text{ は外心だから，}O\text{ を通り }BC\text{ に垂直な直線は }BC\text{ の垂直二等分線である。}A\text{ もその直線上にあるから }AB=AC.\\(3)\quad &\overrightarrow{OI}=\vec0\text{ なら }O=I.\text{ このとき }O\text{ は各頂点の角の二等分線上にある。}OA=OB=OC\text{ より，}\\&\triangle OAB\text{ は二等辺だから }\frac{A}{2}=\frac{B}{2};\quad \triangle OBC\text{ も二等辺だから }\frac{B}{2}=\frac{C}{2}.\\&\text{よって }A=B=C\text{ で，三角形は正三角形，したがって二等辺三角形である。}\\&\overrightarrow{OI}\ne\vec0\text{ の場合，条件より }OI\perp BC.\ O\text{ は }BC\text{ の垂直二等分線上にあるので，直線 }OI\text{ はその垂直二等分線である。}I\text{ もその上にあり }IB=IC.\\&\triangle IBC\text{ は二等辺だから }\angle IBC=\angle ICB.\ BI,CI\text{ はそれぞれ }B,C\text{ の角の二等分線なので }\frac{B}{2}=\frac{C}{2}.\\&B=C\text{ より，対辺 }AC=AB.\end{aligned}$$