5千葉大学 2011年 数学 第5問解答・解説

(1)　 C上の点と直線 l:y=x との距離は $$\displaystyle \frac{|ax^2-x|}{\sqrt{2}}.$$ 条件 $0<x<1/a$ より $x-ax^2>0$ なので、距離は $$\displaystyle \frac{x-ax^2}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{-a\left(x-\frac{1}{2a}\right)^2+\frac{1}{4a}\right\}.$$ $a>0$ であり、頂点 $x=1/(2a)$ は $0<x<1/a$ を満たすから、ここで最大値をとる。したがって $$\displaystyle s=\frac{1}{2a},\qquad t=as^2=\frac{1}{4a},\qquad d=\frac{1}{4\sqrt{2}a}.$$ 放物線の接線の傾きは $y'=2ax$ であるから、点 $P$ では $2as=1$。

(2)　 $a>0$ に対し $s=1/(2a)>0$ であり、$t=1/(4a)=s/2$ となる。また任意の $s>0$ に対して $a=1/(2s)>0$ とすればこの点が得られる。ゆえに軌跡は $$\displaystyle t=\frac{s}{2}\quad(s>0)$$ である。図示すると、第一象限で原点を含まず、原点から傾き $1/2$ で右上方へ伸びる半直線である。　 (2) の軌跡の図は、横軸を $s$、縦軸を $t$ として次のようになる。