6東京大学 2014年 数学 第6問解答・解説

$P=(a,\sqrt3a),\ Q=(-b,\sqrt3b),\ 0\leq a,b\leq2$とおくと、$OP=2a,\ OQ=2b$だから$a+b=3$、したがって$1\leq a\leq2,\ b=3-a$である。

固定した$0\leq s\leq2$について、点$(s,t)$が線分PQ上にあるには$s\leq a$であればよい（Qのx座標は$-b\leq0$）。よって$\displaystyle \max(1,s)\le a\le2$。直線PQの傾きは$\sqrt3(a-b)/3$、切片は$2\sqrt3ab/3$であるから、$$\displaystyle t=\frac{\sqrt3}{3}\{(a-b)s+2ab\}=\frac{\sqrt3}{3}F_s(a),\quad F_s(a)=-2a^2+2(3+s)a-3s.$$ 平方完成すると$$\displaystyle F_s(a)=-2\left(a-\frac{3+s}{2}\right)^2+\frac{9+s^2}{2}.$$

$0\leq s\leq1$では$1\leq a\leq2$で、頂点$(3+s)/2$はこの区間内にある。したがって最大値は$(9+s^2)/2$。最小値は端点で生じ、$F_s(1)=4-s\leq4+s=F_s(2)$だから$4-s$である。よって$$\displaystyle \frac{\sqrt3(4-s)}3\leq t\leq\frac{\sqrt3(9+s^2)}6.$$

$1\leq s\leq2$では$s\leq a\leq2$かつ頂点$(3+s)/2\geq2$なので、$F_s(a)$はこの区間で増加する。よって最小値は$F_s(s)=3s$、最大値は$F_s(2)=4+s$であり、$$\displaystyle \sqrt3s\leq t\leq\frac{\sqrt3(4+s)}3.$$ どちらの場合も$a$の連続な範囲に対する$t$の連続な値なので、両端の間の値はすべて実現する。

点PとQの条件は入れ替えても変わらず、対応する線分をy軸対称に移すと同じ族の線分になる。したがってDはy軸対称である。$r=|x|$とおき、$$\displaystyle \ell(r)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt3(4-r)}3&(0\leq r\leq1),\\\sqrt3r&(1\leq r\leq2),\end{cases}\quad u(r)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt3(9+r^2)}6&(0\leq r\leq1),\\\dfrac{\sqrt3(4+r)}3&(1\leq r\leq2),\end{cases}$$とすると、領域Dは$$-2\leq x\leq2,\qquad \ell(|x|)\leq t\leq u(|x|)$$をともに満たす点$(x,t)$全体である。 境界の目印は、$x=0$で$4\sqrt3/3\leq t\leq3\sqrt3/2$、$x=\pm1$で$\sqrt3\leq t\leq5\sqrt3/3$、$x=\pm2$で$t=2\sqrt3$である。したがって、原点の左右対称な領域をこれらの境界で囲んで図示できる。