1東北大学 2012年 数学 第1問解答・解説

・ $$x+y=2s,\qquad x-y=2t+2$$ より $$\displaystyle s=\frac{x+y}{2},\qquad t=\frac{x-y-2}{2}.$$ したがって $s\geq0,\ t\geq0$ は $$x+y\geq0,\qquad x-y\geq2$$ と同値である。すなわち $$-x\leq y\leq x-2.$$ 2直線 $y=-x,\ y=x-2$ の交点は $(1,-1)$ であるから、求める範囲はこの頂点から右方へ広がるくさび形の領域で、境界を含む。

・ $y=s+t-1$ より $s=y+1-t$ と表せる。これを $x$ の式に代入すると $$x=(y+1-t)t+(y+1-t)-t+1 =-t^2+(y-1)t+y+2$$ となる。$s,t$ は実数全体を動くので、$y$ を固定したとき $t$ は実数全体を動く。平方完成して $$\displaystyle x=-\left(t-\frac{y-1}{2}\right)^2+2+\frac{(y+1)^2}{4}.$$ よって、その $y$ に対して実現する $x$ の範囲は $$\displaystyle x\leq2+\frac{(y+1)^2}{4}$$ である。境界は頂点 $(2,-1)$ で右に開く放物線 $$\displaystyle x=2+\frac{(y+1)^2}{4}$$ であり、求める範囲はその左側で境界を含む。

色を付けた部分が求める領域であり、実線の境界を含む。いずれも図の枠外まで続く。