3東京大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) 　 $P=(u,u^2),\ Q=(v,v^2),\ -1\le u,v\le1$ とおく。$PR:RQ=1:2$ より $$\displaystyle a=\frac{2u+v}{3},\qquad b=\frac{2u^2+v^2}{3}.$$ $-1\le a\le1$ を満たす固定した $a$ に対し $v=3a-2u$ だから、$u$ の範囲は $$\displaystyle L(a)=\max\left(-1,\frac{3a-1}{2}\right)\le u\le U(a)=\min\left(1,\frac{3a+1}{2}\right).$$ この区間には $u=a$ が含まれる。また $$\displaystyle b=\frac{2u^2+(3a-2u)^2}{3}=a^2+2(u-a)^2.$$ よって最小値は $a^2$。最大値は $u$ の区間の端点のうち $a$ から遠い方で得られる。その距離は $$\displaystyle d(a)=\max\{a-L(a),U(a)-a\}= \begin{cases} 1-|a|,&\frac13\le |a|\le1,\\[2pt] \frac{1+|a|}{2},&0\le |a|\le\frac13. \end{cases}$$ $u=a$ から遠い端点までの間で $b$ は連続に増えるので、全ての中間値をとる。

(2) 　 $$\displaystyle -1\le a\le1,\quad a^2\le b\le f(a),\qquad f(a)= \begin{cases} 3a^2-4|a|+2,&\frac13\le |a|\le1,\\[2pt] \dfrac{3a^2+2|a|+1}{2},&|a|\le\frac13. \end{cases}$$ 従って下側境界 $b=a^2$ と上側境界 $b=f(a)$ の間を、境界を含めて塗る。上側境界の主な点は $$\displaystyle (-1,1),\ \left(-\frac23,\frac23\right),\ \left(-\frac13,1\right),\ \left(0,\frac12\right),\ \left(\frac13,1\right),\ \left(\frac23,\frac23\right),\ (1,1).$$