東京大学
2007年度の数学東京大学・全6問
- 1n と k を正の整数とし、P(x) を次数が n 以上の整式とする。整式 (1+x)^kP(x) の n 次以下の項の係数がすべて整数ならば、P(x) の n 次以下の項の係数は、すべて整数…
- 2n を 2 以上の整数とする。平面上に n+2 個の点 O, P0, P1, …, Pn があり、次の2つの条件をみたしている。 ① ∠Pk-1OPk = π/n（1≤k≤n）、∠OPk-1P…
- 3座標平面上の2点 P, Q が、曲線 y=x²（−1≤x≤1）上を自由に動くとき、線分 PQ を1:2に内分する点 R が動く範囲を D とする。ただし、P=Qのときは R=Pとする。 (1)…
- 4以下の問いに答えよ。 (1) 実数 a に対し、2次の正方行列 A, P, Q が、5つの条件 A=aP+(a+1)Q、 P²=P 、 Q²=Q 、PQ=O、QP=O をみたすとする。ただし …
- 5表が出る確率が p、裏が出る確率が 1−p であるような硬貨がある。ただし、0<p<1 とする。この硬貨を投げて、次のルール (R) の下で、ブロック積みゲームを行う。 (R) ① ブロックの…
- 6以下の問いに答えよ。 (1) 0<x<a をみたす実数 x, a に対し、次を示せ。 2x/a < ∫a−x^(a+x) (1/t) dt < x(1/(a+x)+1/(a−x)) (2) (…