6東京大学 2007年 数学 第6問解答・解説

(1) 積分を $t=a-u$ と $t=a+u$ の部分に分けると、 $$\displaystyle \int_{a-x}^{a+x}\frac{dt}{t} =\int_0^x\left(\frac{1}{a-u}+\frac{1}{a+u}\right)du =\int_0^x\frac{2a}{a^2-u^2}\,du.$$ $0<u<x<a$ では $$\displaystyle \frac{2}{a}<\frac{2a}{a^2-u^2}<\frac{2a}{a^2-x^2}.$$ これを $0$ から $x$ まで積分して、 $$\displaystyle \frac{2x}{a}<\int_{a-x}^{a+x}\frac{dt}{t} <\frac{2ax}{a^2-x^2} =x\left(\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}\right)$$ を得る。

(2) $\displaystyle I_1=\int_1^{\sqrt2}\frac{dt}{t}$ と $\displaystyle I_2=\int_{\sqrt2}^{2}\frac{dt}{t}$ とおく。積分範囲 $u\le t\le v$ に対し、(1) を $a=(u+v)/2,\ x=(v-u)/2$ として用いる。まず $1\le t\le\sqrt2$ では $$\displaystyle \frac{2x}{a}=2\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=6-4\sqrt2,\qquad x\left(\frac1v+\frac1u\right) =\frac{\sqrt2-1}{2}\left(\frac1{\sqrt2}+1\right)=\frac{1}{2\sqrt2}.$$ 次に $\sqrt2\le t\le2$ でも同様に $$\displaystyle \frac{2x}{a}=2\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}=6-4\sqrt2,\qquad x\left(\frac1v+\frac1u\right) =\frac{2-\sqrt2}{2}\left(\frac12+\frac1{\sqrt2}\right)=\frac{1}{2\sqrt2}.$$ したがって、$\displaystyle \log 2=\int_1^2\frac{dt}{t}=I_1+I_2$ より $$\displaystyle 12-8\sqrt2<\log 2<\frac1{\sqrt2}.$$ 下限については $12-8\sqrt2>17/25=0.68$ である。実際、これは $283>200\sqrt2$ と同値で、両辺は正かつ $283^2=80089>80000=(200\sqrt2)^2$ である。また $$\displaystyle \frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}<\frac{71}{100}=0.71$$ である。これは $50\sqrt2<71$ と同値で、両辺は正かつ $5000<5041$ だから成り立つ。よって $0.68<\log 2<0.71$。