1東京大学 2007年 数学 第1問解答・解説

最高次を$d$として$\displaystyle P(x)=\sum\limits _{j=0}^{d}a_jx^j$、$\displaystyle (1+x)^kP(x)=\sum\limits _{r=0}^{d+k}b_rx^r$とおく。仮定より$b_0,b_1,\ldots,b_n$はすべて整数である。

二項定理から$\displaystyle (1+x)^k=\sum\limits _{t=0}^{k}\binom kt x^t$なので、$0\le r\le n$に対して積の$x^r$の係数を比較すると $$\displaystyle b_r=\sum\limits _{t=0}^{\min(k,r)}\binom kt a_{r-t}=a_r+\sum\limits _{t=1}^{\min(k,r)}\binom kt a_{r-t}.$$ （$r\le n\le d$なので必要な係数$a_0,\ldots,a_r$はいずれも存在する。）

$r=0$では和が空となり、$a_0=b_0\text{ は整数}$。$1\le r\le n$とし、$a_0,\ldots,a_{r-1}$がすべて整数と仮定する。$k$は正の整数だから各$\displaystyle \binom kt$は整数であり、上の式を変形した $$\displaystyle a_r=b_r-\sum\limits _{t=1}^{\min(k,r)}\binom kt a_{r-t}$$ の右辺は整数の差である。したがって$a_r\text{ は整数}$。数学的帰納法により$a_0,a_1,\ldots,a_n$はすべて整数であり、主張が示された。