5東京大学 2007年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \text{最後のブロックの高さは、最後に裏が出てから続く表の回数である。したがって、}m<n\text{では高さが}m\text{となるのは、最後の}m\text{回が表、その直前が裏である場合で、さらに前の投げ方は任意である。}\\ p_m=(1-p)p^m\quad(0\leq m<n)。\text{高さ}n\text{となるのは}n\text{回すべて表の場合なので}p_n=p^n\text{である。}\\ \text{高さが}m<n\text{以下である事象の余事象は、最後の}m+1\text{回がすべて表となる事象である。よって}\\ q_m=1-p^{m+1}\quad(0\leq m<n),\qquad q_n=1。\\ \text{独立な2回の試行後の高さを}X,Y\text{とする。}m\geq1\text{では、}\max(X,Y)=m\text{となる確率は}X,Y\text{がともに}m\text{以下となる確率から、ともに}m-1\text{以下となる確率を引けばよい。}m=0\text{では両方が}0\text{以下、すなわち両方が}0\text{となる確率である。}\\ r_0=q_0^2=(1-p)^2。\\ \text{ }1\leq m\leq n-1\text{では}\\ r_m=q_m^2-q_{m-1}^2=(1-p^{m+1})^2-(1-p^m)^2=(1-p)p^m(2-p^m-p^{m+1})。\\ m=n\text{では}\\ r_n=q_n^2-q_{n-1}^2=1-(1-p^n)^2=2p^n-p^{2n}。$$