3東北大学 2002年 数学 第3問解答・解説

サイコロ1の目は右へ2区画、2の目は右へ1区画、3の目は上へ1区画進み、4・5・6では動かない。原文の端での規則も含めると、6回目に $B$ を止まらず通過するには、5回目の後に $(2,1)$ にいて、6回目に1の目が出て $(4,1)$ まで進む必要がある。

最初の5回で $(2,1)$ にいるために、1の目の回数を $a$、2の目の回数を $b$、3の目の回数を $c$ とすると $$2a+b=2,\qquad c=1.$$ 従って $(a,b)=(1,0)$ または $(0,2)$。残りの出目は4・5・6で、その場にとどまる。各場合の出方は $$\displaystyle \frac{5!}{1!1!3!}\,3^3=540,\qquad \frac{5!}{2!1!2!}\,3^2=270.$$ したがって最初の5回の後に $(2,1)$ にいる確率は $$\displaystyle \frac{540+270}{6^5}=\frac5{48}.$$ 6回目に1が出る確率 $1/6$ を掛けると、ちょうど6回目に $B$ を通過して $(4,1)$ にいる確率は $5/288$。その後は右端にいるので、残り $n-6$ 回のうち少なくとも1回3が出れば $C$ に着く。その確率は $$\displaystyle 1-\left(\frac56\right)^{n-6}.$$ 各回の出目は独立だから、求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac5{288}\left(1-\left(\frac56\right)^{n-6}\right)}.$$