4東北大学 2002年 数学 第4問解答・解説

$s=t-1\ge0$, $u=x+1$ とおくと、$x-t+2=u-s$, $x+t=u+s$ であり、積分区間は $0\le u\le2$ となる。したがって $\displaystyle f(t)=\int_{0}^{2}|u^{2}-s^{2}|\,du$ である。$F(s)=f(s+1)$ とおく。$$\displaystyle F(s)=\begin{cases}\displaystyle\int_0^s(s^2-u^2)\,du+\int_s^2(u^2-s^2)\,du=\dfrac{4}{3}s^3-2s^2+\dfrac{8}{3},&0\le s\le2,\\[6pt]\displaystyle\int_0^2(s^2-u^2)\,du=2s^2-\dfrac{8}{3},&s\ge2.\end{cases}$$前半では $F'(s)=4s(s-1)$ だから $F$ は $0\le s\le1$ で減少し、$1\le s\le2$ で増加する。後半では $F'(s)=4s>0$ なので増加する。二つの式は $s=2$ で一致するから、全体の最小値は $s=1$ のときにとる。このとき $t=s+1=2$, $f(t)=F(1)=2$ である。