3金沢大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(1)(i) 絶対値を場合分けすると $$y=1-|x|=\begin{cases}1+x&(x\le 0),\\1-x&(x\ge 0).\end{cases}$$ したがって原点の真上の頂点は $(0,1)$、x切片は $(-1,0),(1,0)$ であり、左右に傾き $1,-1$ の線分を延ばした逆V字型である。

(1)(ii) 同様に $$\displaystyle y=\frac1{1+|x|}=\begin{cases}\frac1{1-x}&(x\le 0),\\[2pt]\frac1{1+x}&(x\ge 0).\end{cases}$$ 偶関数で、$(0,1)$ を最大点とする。$t=|x|\ge0$ とすれば $y=1/(1+t)$ なので、$|x|$ が増すほど値は減少し、正のまま $0$ に近づく。左右対称で水平漸近線は $y=0$ である。

(2) $-1<x<1$ では $1-x^2=(1-|x|)(1+|x|)$ かつ $1-|x|>0$ だから、与不等式は $$\displaystyle ax+b\le \frac1{1+|x|}$$ と同値である。$t=|x|\ (0\le t<1)$ とし、$x=t,-t$ の両方を考えると $$\displaystyle b+at\le\frac1{1+t},\qquad b-at\le\frac1{1+t},$$ すなわち $$\displaystyle b+|a|t\le\frac1{1+t}\qquad(0\le t<1).$$ これがすべての $t<1$ で成り立つなら、$t\to1-$ として $\displaystyle b+|a|\le\frac12$ を得る。逆に $\displaystyle b+|a|\le\frac12$ なら、$0\le t<1$ に対して $$\displaystyle b+|a|t\le b+|a|\le\frac12\le\frac1{1+t}$$ となるので、区間内の不等式が成り立つ。端点 $x=\pm1$ では元の不等式の両辺がともに $0$ である。よって必要十分条件は $$\displaystyle \boxed{b\le\frac12-|a|}\quad\text{（同値に }b+|a|\le\tfrac12\text{）}.$$

(3) (2)の条件の下で上側の曲線は $y=1-|x|$ であるから、面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{-1}^{1}\{(1-|x|)-(ax+b)(1-x^2)\}\,dx\\ &=1-a\int_{-1}^{1}x(1-x^2)\,dx-b\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx\\ &=1-0-\frac{4b}{3} =\boxed{1-\frac43b}. \end{aligned}$$ ここで $x(1-x^2)$ は奇関数であり、その対称区間上の積分は $0$、また $\displaystyle \int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=4/3$ を用いた。条件 $\displaystyle b\le\frac12-|a|$ より $S\ge(1+4|a|)/3>0$ でもある。

絶対値を場合分けして二つのグラフを描く。区間内部の不等式を整理し、必要性と十分性を両方示す。最後に上下の曲線の差を積分する。