III富山大学 2007年 数学 第III問解答・解説

(1) $P=(x_0,y_0)$ とおく。直線 $\ell$ の方向ベクトル $(1,a)$ に垂直なベクトルは $(a,-1)$。 $$\displaystyle t=\frac{ax_0-y_0+b}{a^2+1},\qquad H=P-t(a,-1)$$ と定めると、$H$ の座標は $(x_0-at,y_0+t)$ であり、 $$a(x_0-at)-(y_0+t)+b=ax_0-y_0+b-(a^2+1)t=0.$$ よって $H$ は $\ell$ 上にある。また $\overrightarrow{PH}=-t(a,-1)$ は $\ell$ に垂直。 したがって $H$ は垂線の足で、$t=0$ の場合も含めて距離は $$\displaystyle PH=|t|\sqrt{a^2+1} =\boxed{\frac{|ax_0-y_0+b|}{\sqrt{1+a^2}}}.$$

(2)(i) 3点を (1) に代入すれば $$\displaystyle \boxed{L=\frac{|b|+|a+b|+|b-2|}{\sqrt{1+a^2}}}.$$ (ii) $a=-1$ のとき $$\displaystyle L=\frac{|b|+|b-1|+|b-2|}{\sqrt2} =\frac1{\sqrt2} \begin{cases} 3-3b &(b\le0),\\ 3-b &(0\le b\le1),\\ b+1 &(1\le b\le2),\\ 3b-3 &(b\ge2). \end{cases}$$ 折れ点は $(0,3/\sqrt2),(1,\sqrt2),(2,3/\sqrt2)$。 これらを上の傾きに従って結ぶ折れ線がグラフであり、最小点は $(1,\sqrt2)$ である。

(iii) 分子を $|b-0|+|b-(-a)|+|b-2|$ とみる。 3数 $0,-a,2$ を小さい順に $u\le v\le w$ とすると $$|b-u|+|b-w|\ge w-u,$$ さらに $|b-v|\ge0$ である。したがって分子は $w-u$ 以上で、 $b=v$ のとき等号が成り立つ。また等号には $|b-v|=0$ が必要なので最小点は $b=v$ に限る。 よって $$\displaystyle \boxed{M(a)= \begin{cases} \dfrac{-a}{\sqrt{1+a^2}} &(a\le-2),\\[2mm] \dfrac2{\sqrt{1+a^2}} &(-2\le a\le0),\\[2mm] \dfrac{a+2}{\sqrt{1+a^2}} &(a\ge0). \end{cases}}$$ 最小値を与える $b$ は、順に $2,-a,0$ である。境界ではいずれの式も一致する。

(iv) $a\le-2$ では $$\displaystyle M(a)^2=1-\frac1{1+a^2}\ge\frac45,$$ 等号は $a=-2$ のときのみ。 $-2\le a\le0$ でも $1+a^2\le5$ より $M(a)\ge2/\sqrt5$ で、等号は $a=-2$ のときのみ。 $a\ge0$ では $(a+2)^2-(1+a^2)=4a+3>0$ より $M(a)>1>2/\sqrt5$。 以上から $$\displaystyle \boxed{L_{\min}=\frac2{\sqrt5},\qquad (a,b)=(-2,2)}.$$ 実際、この直線は $A_2,A_3$ を通り、$A_1$ までの距離が $2/\sqrt5$ である。