4東京大学 2008年 数学 第4問解答・解説

放物線上の2点の $x$ 座標を $u,v$（$u\ne v$）とすると、$P=(u,u^2),\ Q=(v,v^2)$ である。線分 $PQ$ の傾きと長さから $$\displaystyle m=\frac{u^2-v^2}{u-v}=u+v,\qquad L^2=(u-v)^2+(u^2-v^2)^2=(u-v)^2(1+m^2)$$ を得る。また中点の $y$ 座標は $$\displaystyle h=\frac{u^2+v^2}{2} =\frac{(u+v)^2+(u-v)^2}{4} =\frac14\left(m^2+\frac{L^2}{1+m^2}\right).$$ 任意の実数 $m$ に対し、$u+v=m,\ u-v=L/\sqrt{1+m^2}$ と選べるので、固定した $L>0$ のもとで $m$ は任意の実数をとる。

$s=m^2\ge0$ とおけば $\displaystyle 4h=g(s)=s+\frac{L^2}{1+s}$ である。$0<L\le1$ のとき $$\displaystyle g(s)-L^2=\frac{s(1+s-L^2)}{1+s}\ge0$$ であり、$s=0$ で等号となる。したがって最小値は $L^2/4$。

$L>1$ のとき $$\displaystyle g(s)-(2L-1)=\frac{(1+s-L)^2}{1+s}\ge0$$ であり、$s=L-1$（すなわち $m=\pm\sqrt{L-1}$）で等号となる。したがって最小値は $(2L-1)/4$ である。

放物線上の2点の座標を $u,v$ と置き、傾き・長さ・中点の高さを和と差で表す。固定した $L>0$ に対して任意の傾き $m$ が実現できることを確認してから $s=m^2\ge0$ に置き換え、場合ごとに非負の差を作って最小値と等号条件を示す。