6東京大学 2008年 数学 第6問解答・解説

上側ループは $0\leq t\leq\pi$ に対応する。$x=\cos 2t$ は $0\le t\le\pi/2$ で $1$ から $-1$ へ減少し、$\pi/2\le t\le\pi$ で $-1$ から $1$ へ増加する。したがって、$-1<x<1$ における2枝は $t$ と $\pi-t$ に対応し、高さはそれぞれ $t\sin t$ と $(\pi-t)\sin t$ である。両枝は $x=-1$ の点 $(-1,\pi/2)$ で接続し、$x=1$ では $(1,0)$ に戻る。2枝の高さの差は $$(\pi-t)\sin t-t\sin t=(\pi-2t)\sin t>0\qquad(0<t<\pi/2).$$ よって通常の縦断面積分で上側ループの面積を求めると、$x=\cos2t$、$dx=-2\sin2t\,dt$ より $$\displaystyle \begin{aligned} A_+&=\int_{-1}^{1}\bigl(y_{\rm upper}(x)-y_{\rm lower}(x)\bigr)\,dx\\ &=\int_0^{\pi/2}(\pi-2t)\sin t\,2\sin2t\,dt\\ &=\int_0^{\pi/2}(\pi-2t)(\cos t-\cos3t)\,dt=2-\frac29=\frac{16}{9}. \end{aligned}$$ 最後の積分では、部分積分により $\displaystyle \int_0^{\pi/2}(\pi-2t)\cos t\,dt=2$、$\displaystyle \int_0^{\pi/2}(\pi-2t)\cos3t\,dt=2/9$ を得る。

下側ループでは $t=\pi+s$ および $t=2\pi-s$（$0\leq s\leq\pi/2$）が同じ $x=\cos2s$ に対応する。2枝の $y$ 座標はそれぞれ $-(\pi+s)\sin s$ と $-(2\pi-s)\sin s$ であり、前者が上側、後者が下側である。その差は $(\pi-2s)\sin s>0$（$0<s<\pi/2$）。両枝は $x=-1$ の点 $(-1,-3\pi/2)$ で接続し、$x=1$ では $(1,0)$ に戻る。したがって同じ縦断面積分から $$\displaystyle A_-=\int_0^{\pi/2}(\pi-2s)\sin s\,2\sin2s\,ds=\frac{16}{9}.$$ 上下のループは共通点 $(1,0)$ で接し、各ループの2枝はそれぞれ $x=-1$ の端点で接続する。求める2領域の面積の和は $$\displaystyle A_++A_-=\frac{16}{9}+\frac{16}{9}=\frac{32}{9}.$$