3東京大学 2008年 数学 第3問解答・解説

% 個別IDディレクトリを作業ディレクトリとして組版。本文は作者の最新ファイルを参照する。 (1) 真上から見た外形は正六角形。上下の面の頂点が交互に現れる。添付図は上面の三角形を実線，下面を破線で示す。 (2) $a=1/\sqrt2$ とし，頂点を $(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a)$ とそれぞれの反対側の3点に置く。回転軸は方向 $(1,1,1)$ の直線である。 原点から上面重心までの距離は $h=a/\sqrt3=1/\sqrt6$。各頂点の軸からの距離の二乗は $a^2-h^2=1/3$。 上面3頂点の軸に垂直な平面への射影を $\boldsymbol p_i$ とすると，$|\boldsymbol p_i|^2=1/3$，異なる二点では $\boldsymbol p_i\cdot\boldsymbol p_j=-1/6$。 上面から下面への側辺上の位置を割合 $t$ で表すと，軸からの距離の二乗は $$\displaystyle \rho(t)^2=|(1-t)\boldsymbol p_i-t\boldsymbol p_j|^2 =\frac13\{(1-t)^2+t^2+t(1-t)\}=\frac{1-t+t^2}3.$$ 高さは $z=h(1-2t)$。各高さの断面は軸を含む凸多角形で，頂点はすべて距離 $\rho(t)$ にある。回転後は半径 $\rho(t)$ の円盤となるので $$\displaystyle V=2\pi h\int_0^1\frac{1-t+t^2}3\,dt =\frac{2\pi}{3\sqrt6}\left(1-\frac12+\frac13\right)=\frac{5\pi}{9\sqrt6}.$$

正八面体の平面図。上面の三角形1--3--5は実線、下面の三角形2--4--6は破線。周囲の6辺も実線で示す。