5東京大学 2008年 数学 第5問解答・解説

$R_n=\boxed n=(10^n-1)/9$ とおく。任意の正整数 $k$ で $$R_{3k}=R_k(1+10^k+10^{2k}).$$ $10\equiv1\pmod9$ から括弧内は $3\pmod9$、すなわち3で割り切れるが9では割り切れない。$R_1=1$ から始めて $m$ に関する帰納法を行うと、$R_{3^m}=3^m u$ かつ $3\nmid u$ なら次段の括弧は $3v$（$3\nmid v$）となるので $R_{3^{m+1}}=3^{m+1}uv$ は $3^{m+1}$ で割り切れ、$3^{m+2}$ では割り切れない。基底 $m=0$ と合わせて(1)。

(2) 二項定理を $243=3^5$ を法として使い、$n\ge1$ で $$\displaystyle 10^n=(1+9)^n\equiv1+9n+81\binom n2\pmod{243}.$$ 9で割って $\displaystyle R_n\equiv n+9\binom n2\pmod{27}$、従って $$2R_n\equiv2n+9n(n-1)=n(9n-7)\pmod{27}.$$ $9n-7$ は3の倍数でなく、2も27と互いに素である。よって $27\mid R_n$ と $27\mid n$ は同値。

$\displaystyle R_n=\frac{10^n-1}{9}$とする。(1) $R_{3^m}$は$3^m$で割り切れるが$3^{m+1}$では割り切れない。(2) $27\mid R_n$ iff $27\mid n$。