3富山大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) $z^3-z=z(z-1)(z+1)$ は連続する3整数の積である。3の倍数が少なくとも1つ含まれるから、$3\mid(z^3-z)$。よって $P(1)$ は真。

(2) 因数分解して $$z^9-z^3=(z^3-z)(z^6+z^4+z^2).$$ 第1因子は(1)より3の倍数。また $z^3\equiv z\pmod3$ なので、第2因子は $$z^6+z^4+z^2\equiv z^2+z^2+z^2\equiv0\pmod3.$$ 従って積は9の倍数であり、$P(2)$ は真。

(3) $P(n)$ が真と仮定し、任意の整数 $z$ に対し $X=z^{3^n},\ Y=z^{3^{n-1}}$ と置く。仮定より $3^n\mid X-Y$ で、特に $X\equiv Y\pmod3$。次に $$z^{3^{n+1}}-z^{3^n}=X^3-Y^3=(X-Y)(X^2+XY+Y^2).$$ ここで $$X^2+XY+Y^2\equiv Y^2+Y^2+Y^2\equiv0\pmod3,$$ ゆえに右辺は $3^n\cdot3=3^{n+1}$ の倍数。よって $P(n)$ が真ならば $P(n+1)$ も真である。 (1)を基底とする数学的帰納法により、すべての正整数 $n$ で $P(n)$ が真である。

(1) $z^3-z=z(z-1)(z+1)$は連続3整数の積なので3の倍数。 (2) $z^9-z^3=(z^3-z)(z^6+z^4+z^2)$。前因子は3の倍数、後因子は $z^3\equiv z\pmod3$ より3の倍数なので9の倍数。 (3) $P(n)$から$X=z^{3^n},\ Y=z^{3^{n-1}}$は$X-Y$が$3^n$の倍数で、$X\equiv Y\pmod3$。$X^3-Y^3=(X-Y)(X^2+XY+Y^2)$の後因子も3の倍数。ゆえに$P(n+1)$。$P(1)$から帰納法で全てのn。