1富山大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}$, $-\pi<x<\pi$ より $\displaystyle \cos\frac{x}{2}>0$ である。倍角公式を使うと $$\displaystyle \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$ また、与えられた関係を微分して $$\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac12\sec^2\frac{x}{2}=\frac{1+t^2}{2}>0$$ だから $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}.$$

(2) $t=\tan(x/2)$ と置くと、$x=0,\pi/2$ はそれぞれ $t=0,1$ に移る。(1)より $$\displaystyle 1+\sin x+\cos x=\frac{2(1+t)}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt.$$ したがって $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x} =\int_0^1\frac{dt}{1+t}=\log 2.$$

(3) $x=\pi/2-u$ と置換すると、積分する $u$ の範囲は $0\le u\le\pi/2$ のまま、$\sin x$ と $\cos x$ が入れ替わり、分母 $1+\sin x+\cos x$ は変わらない。よって二つの定積分は等しい。

(4) 二つの積分を $A,B$ とすると、(3)より $A=B$。また、二つの被積分関数の和は $$\displaystyle \frac{(1+2\sin x)+(1+2\cos x)}{1+\sin x+\cos x}=2$$ なので $$\displaystyle A+B=\int_0^{\pi/2}2\,dx=\pi.$$ したがって $A=\pi/2$。

(5) 求める積分を $K$ とする。$x=\pi/2-u$ の置換により、分子を $\cos x$ とした積分も $K$ に等しい。従って $$\displaystyle 2K=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x+\cos x}{1+\sin x+\cos x}\,dx =\int_0^{\pi/2}\left(1-\frac{1}{1+\sin x+\cos x}\right)dx =\frac{\pi}{2}-\log 2,$$ ここで(2)を用いた。ゆえに $$\displaystyle K=\frac{\pi}{4}-\frac{\log 2}{2}.$$

半角正接置換で三角関数と微分を表し、最初の積分を計算する。残りは区間の反射対称性と被積分関数の和を使って評価する。