6京都大学 2023年 数学 第6問解答・解説

(1) 三倍角・四倍角 $x=\cos\theta$とおく。倍角公式より $$\cos 3\theta=\cos 2\theta\cos\theta-\sin 2\theta\sin\theta =(2x^2-1)x-2x(1-x^2)=4x^3-3x.$$ また $$\cos 4\theta=2\cos^2 2\theta-1=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1.$$ (2) 有理角でないこと 余弦の加法定理から、$T_0(x)=1$, $T_1(x)=x$, $$T_{k+1}(x)=2xT_k(x)-T_{k-1}(x)$$ と定めれば$T_k(\cos\theta)=\cos(k\theta)$となる。この漸化式により$T_k$は整数係数で、$k\ge1$の最高次項は$2^{k-1}x^k$である。 もし$\displaystyle \theta=\frac{m}{n}\pi$なら$T_n(1/p)=\cos(n\theta)=(-1)^m$。ある整数$a_0,\ldots,a_{n-1}$を用いて $$\displaystyle T_n(x)=2^{n-1}x^n+\sum\limits _{j=0}^{n-1}a_jx^j$$ と表し、$p^n$を掛けると $$\displaystyle (-1)^mp^n=2^{n-1}+\sum\limits _{j=0}^{n-1}a_jp^{n-j}.$$ 左辺と右辺の和の項はすべて$p$で割り切れるから、$p\mid 2^{n-1}$となる。しかし$p$は奇素数なので不可能。よってそのような正整数$m,n$は存在しない。

(1) $x=\cos\theta$とおく。倍角公式から $\cos 2\theta=2x^2-1$ である。また $\cos 3\theta=\cos 2\theta\cos\theta-\sin 2\theta\sin\theta=(2x^2-1)x-2x(1-x^2)=4x^3-3x$. さらに $\cos 4\theta=2\cos^2 2\theta-1=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1$.

(2) 存在すると仮定して $\displaystyle \theta=\frac mn\pi$（$m,n$は正整数）とする。余弦の加法定理から $T_0(x)=1,\ T_1(x)=x,\ T_{k+1}(x)=2xT_k(x)-T_{k-1}(x)$ と定めると、帰納的に $T_k(\cos\theta)=\cos(k\theta)$ となる。$T_k$は整数係数多項式で、$k\ge1$では次数$k$、最高次係数$2^{k-1}$である。実際、$k=1$で成り立ち、漸化式の第1項が最高次係数を2倍して次数を一つ上げ、第2項の次数はそれより低い。

$\displaystyle x=\frac1p$を代入し、$\cos(n\theta)=\cos(m\pi)=(-1)^m$ だから $\displaystyle T_n(\frac1p)=(-1)^m$。整数の係数 $a_j$ を用いて $\displaystyle T_n(x)=2^{n-1}x^n+\sum\limits _{j=0}^{n-1}a_jx^j$ と書き、両辺に$p^n$を掛けると $\displaystyle (-1)^m p^n=2^{n-1}+\sum\limits _{j=0}^{n-1}a_jp^{n-j}$. 右辺の和の各項と左辺はpで割り切れるため、pは$2^{n-1}$を割り切らなければならない。しかしpは3以上の素数なので奇数であり、pは$2^{n-1}$を割り切らない。矛盾。したがって、そのような正整数m,nは存在しない。